«Геодезический треугольник»

треугольник на поверхности эллипсоида, стороны которого являются геодезическими линиями (См. Геодезические линии). Важное значение имеет в геодезии, где фигура Земли принимается за эллипсоид (см. Земной эллипсоид). Треугольники на земной поверхности, полученные при измерении триангуляции, строго говоря, не являются Г. т. вследствие сплюснутости Земли. Они приводятся к Г. т. введением в измеренные углы небольших поправок, рассчитанных математическим путём.

мат. geometric triangle

фигура, состоящая из трех различных точек и попарно соединяющих их геодезических линий. Точки наз. вершинами, геодезические - сторонами. Г. т. может рассматриваться в любом пространстве, где есть геодезические.

Если стороны Г. т., лежащего в гомеоморфыой открытому кругу области, составляют простой замкнутый контур, то к Г. т. присоединяют внутреннюю область. На регулярной поверхности сумма углов Г. т. минус p(избыток треугольника) равна интегральной кривизне внутренней области (см. [1]).

Для метрич. пространства часто рассматривают плоский треугольник с теми же длинами сторон, что у Г. т. Это позволяет вводить различные понятия угла между кратчайшими в метрич. пространствах. В двумерном случае после введения измерения углов можно через избытки Г. т. вводить интегральную кривизну как функцию множества. Сети из Г. т. служат источником аппроксимации метрик многогранными метриками (см. [2]).

Имеются оценки отличия угла Г. т. в изучаемом пространстве от соответствующего угла в треугольнике с теми же длинами сторон на плоскости или на поверхности постоянной кривизны (см. [1], [3], [4]).

Лит.:[1] Гаусс К., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. с лат., в кн.: Об обоснованиях геометрии, М., 1956; [2] Алекса и дров А. Д., Залгаллер В. А., Двумерные многообразия ограниченной кривизны. (Основы внутренней геометрии поверхностей). М.- Л., 1962 ("Тр. матем. ин-та АН СССР", т. 63); [3] Александров А. Д., Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения, "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 5-23: [4] Громол Д., Клингенберг В., Мейе р В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971. В. <А. Залгаллер.

geodetic triangle