«Случайных процессов прогнозирование»

(экстраполирование)

предсказание значения случайного процесса (См. Случайный процесс) в некоторый будущий момент времени по наблюдённым значениям этого процесса (или, более общо, какого-либо статистически с ним связанного процесса — например суммы прогнозируемого процесса с искажающими наблюдения случайными помехами, т. е. с «шумом») в прошлом и настоящем. Практически во всех представляющих интерес ситуациях предсказываемое значение процесса X(t) в момент t = t₁ не может быть точно определено по имеющимся данным наблюдений и можно лишь добиваться, чтобы случайная ошибка прогноза Δ = X(t₁)- X₁(t₁) [где X₁(t₁) —предсказанное значение X(t₁)] в среднем была бы по возможности наименьшей. В теории С. п. п. оптимальным (наилучшим) обычно считается прогноз, для которого минимально математическое ожидание квадрата ошибки Δ; такой оптимальный прогноз совпадает с условным математическим ожиданием случайной величины X(t₁)при условии, что наблюдаемые величины, по которым строится прогноз, принимают фиксированные (известные из наблюдений) значения. Большое место в теории С. п. п. занимает теория оптимального линейного С. п. п., посвященная методам нахождения линейной функции от данных наблюдений такой, что для неё средний квадрат её отклонения от X(t₁) меньше, чем для всех других линейных функций; в ряде практически важных случаев такое оптимальное линейное С. п. п. совпадает с общим оптимальным С. п. п.

Общая теория оптимального линейного С. п. п. для стационарных случайных процессов была разработана А. Н. Колмогоровым и Н. Винером. Большое развитие получила также теория оптимального (и линейного, и общего нелинейного) прогнозирования процессов, являющихся компонентами марковских случайных процессов.

Лит.: Колмогорова. Н., Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей, «Изв. АН СССР. Сер. математическая», 1941, т. 5, №1; Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Розанов Ю. А., Стационарные случайные процессы, М., 1963; Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы, М., 1974; Бокс Дж., Дженкинс Г., Анализ временных рядов. Прогноз и управление, пер. с англ., в. 1—2, М., 1974; Wiener N., Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series, N. Y., 1949.

А. М. Яглом.

случайных процессов экстраполяция,- задача об оценке значении случайного процесса X(t)в будущем t>s по его наблюдаемым значениям до текущего момента времени s. Обычно имеют в виду экстраноляционную оценку для к-рой среднеквадратичная ошибка является минимальной в сравнении со всеми другими оценками, составленными по значениям рассматриваемого процесса в прошлом до момента s (прогнозирование наз. линейным, если ограничиваются линейными оценками).

Одной из первых была поставлена и решена задача линейного прогнозирования стационарной последовательности, имеющая следующий аналог: в пространство L₂ интегрируемых в квадрате функций на отрезке найти проекцию функции на подпространство, порожденное функциями , k=0,-1, -2,...; эта задача получила широкое обобщение в теории стационарных случайных процессов. Примером для приложений может служить задача прогнозирования случайного процесса, возникающего в системе

LX(t) = Y(t), t>t₀,

слинейным дифференциальным оператором Lпорядка lи белым шумом Y(t), t>t₀ в правой части; здесь наилучший прогноз t>s по значениям в моменты при независимых от белого шума начальных значениях X^(kt)(t₀), k=0,..., l-1, может быть дан с помощью решения соответствующего уравнения

с начальными условиями

Для систем стохастических дифференциальных уравнений задача прогнозирования одних компонент по значениям других наблюдаемых компонент приводит к соответствующим стохастич. уравнениям экстраполяции.

Лит. см. при ст. Случайных процессов интерполяция.

Ю. А. Розанов.