«Логарифмическая функция»

функция, обратная к показательной функции (См. Показательная функция). Л. ф. обозначается

y = lnx; (1)

её значение y, соответствующее значению аргумента х, называется натуральным Логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

х = е^у (2)

(е — Неперово число). Т. к. e^y > 0 при любом действительном у, то Л. ф. определена только при х > 0. В более общем смысле Л. ф. называют функцию

y = log_aX,

где а > 0 (а ≠ 1) — произвольное основание логарифмов. Однако в математическом анализе особое значение имеет функция InX; функция log_aX приводится к ней по формуле:

log_ax = MInX,

где М = 1/In а. Л. ф. — одна из основных элементарных функций (См. Элементарные функции); её график (рис. 1) носит название логарифмики. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; например, Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

Inx+lny = lnxy.

Для - 1 <>х , 1 справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

ln(1 + x) = x

Многие интегралы выражаются через Л. ф.; например

,

.

Л. ф. постоянно встречается в математическом анализе и его приложениях.

Л. ф. была хорошо известна математикам 17 в. Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером(1614). Он представил зависимость между числами и их логарифмами с помощью двух точек, движущихся по параллельным прямым (рис. 2). Одна из них (У) движется равномерно, исходя из С, а другая (X), начиная движение из А, перемещается со скоростью, пропорциональной её расстоянию до В. Если положить СУ = у, ХВ = х, то, согласно этому определению, dx/dy = - kx, откуда

Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определённой при всех значениях аргумента z ≠ 0 обозначается Lnz. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

Inz = In∣z∣+ i arg z,

где arg z — Аргумент комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

Lnz = lnz + 2kπi, k = 0, ±1, ±2, ...

Все значения Л. ф. для отрицательных: действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (1749), который исходил из определения

Рис. 1 к ст. Логарифмическая функция.

Рис. 2 к ст. Логарифмическая функция.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ функция - функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция обозначается y ? lnx ее значение y, соответствующее значению аргумента x, называется натуральным логарифмом числа x. График логарифмической функции называется логарифмикой. Рассматриваются также логарифмические функции logax при произвольных основаниях а " 0, а ? 1.

мат. logarithmic function

logarithmic function

логарифми́ческая фу́нкция

функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция обозначается y = ln x; её значение y, соответствующее значению аргумента x, называется натуральным логарифмом числа x. График логарифмической функции называется логарифмикой. Рассматриваются также логарифмические функции log_a x при произвольных основаниях а > 0, a ≠1.

* * *

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ЛОГАРИФМИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функция, обратная показательной функции. Логарифмическая функция обозначается y = lnx ее значение y, соответствующее значению аргумента x, называется натуральным логарифмом числа x. График логарифмической функции называется логарифмикой. Рассматриваются также логарифмические функции log_ax при произвольных основаниях а > 0, а № 1.

функция, обратная к показательной функции. Л. ф. обозначается

ее значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа х. В силу определения соотношение (1) равносильно

Так как при любом действительном у, то Л. ф.

определена только при x>0. В более общем смысле

Л. ф. наз. функцию

где - произвольное основание логарифмов; эта функция выражается через ln хпо формуле:

где M=1/ln a. Л. ф.- одна из основных элементарных функций; ее график (см. рис.) носит название л о г а р и ф м и к и. Основные свойства Л. ф. вытекают из соответствующих свойств показательной функции и логарифмов; напр., Л. ф. удовлетворяет функциональному уравнению

Л. ф. y=ln хявляется строго возрастающей функцией, причем

В каждой точке x>0 Л. ф. имеет производные всех порядков и в достаточно малой ее окрестности раскладывается в степенной ряд, т. е. является аналитической функцией.

Для справедливо разложение Л. ф. в степенной ряд:

Производная Л. ф.:

Многие интегралы выражаются через Л. ф.; напр.:

Впервые зависимость между переменными величинами, выражаемая Л. ф., рассматривалась Дж. Непером (J. Napier, 1614).

Л. ф. на комплексной плоскости является многозначной (бесконечнозначной) функцией, определенной при всех значениях аргумента и обозначается ln z. Однозначная ветвь этой функции, определяемая как

где arg z - главное значение аргумента комплексного числа z, носит название главного значения Л. ф. Имеем

Все значения Л. ф. для отрицательных действительных z являются комплексными числами. Первая удовлетворительная теория Л. ф. в комплексной плоскости была дана Л. Эйлером (L.Euler, 1749), к-рый исходил из определения

Лит.: [1] Н и к о л ь с к и й С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975: [2] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций. 2 изд., т. 1, М., 1967. БСЭ-3.

ф-ция у = lnx. обратная показательной функции, т. е. у = 1пх равносильно х = е^у. В области действит. чисел Л. ф. определена только для х > 0; график Л. ф. (см. рис.) ыаз. логарифмикой. Иногда Л. ф, наз. также ф-цию у = log_ax с произвольным положит. а не равно 1. Значение у Л. ф., соответствующее значению аргумента х, наз. логарифмом числа х.

График логарифмической функции

logarithmic function

* * *

logarithmic function

funzione logaritmica

логарифмі́чна фу́нкція

логарифмі́чна фу́нкція

функция, обратная показательной функции. Л. ф. обозначается у = In x, её значение у, соответствующее значению аргумента х, наз. натуральным логарифмом числа х. График Л. ф. называется логарифмикой. Рассматриваются также Л. ф. log_ax при произвольных основаниях а >> 0, а не= 1