«Кинетическое уравнение Больцмана»

уравнение для функции распределения f(ν, r, t) молекул газа по скоростям ν и координатам r (в зависимости от времени t), описывающее неравновесные процессы в газах малой плотности. Функция f определяет среднее число частиц со скоростями в малом интервале от ν до ν +Δν и координатами в малом интервале от r до r + Δr (см. Кинетическая теория газов). Если функция распределения зависит только от координаты х и составляющей скорости ν_x, К. у. Б. имеет

.

(m — масса частицы). Скорость изменения функции распределения со временем характеризуется частной производной , второй член в уравнений, пропорциональный частной производной функции распределения по координате, учитывает изменение f в результате перемещения частиц в пространстве; третий член определяет изменение функции распределения, обусловленное действием внешних сил F. Стоящий в правой части уравнения член, характеризующий скорость изменения функции распределения за счёт столкновений частиц, зависит от f и характера сил взаимодействия между частицами и равен

Здесь f, f₁ и f’, f’₁ — функции распределения молекул до столкновения и после столкновения соответственно, ν, ν₁ — скорости молекул до столкновения, dσ=σdΩ — дифференциальное эффективное сечение рассеяния в телесный угол dΩ (в лабораторной системе координат), зависящее от закона взаимодействия молекул; для модели молекул в виде жёстких упругих сфер (радиуса R) σ =4R²cosϑ, где ϑ — угол между относительной скоростью — ν ₁—ν сталкивающихся молекул и линией, соединяющей их центры. К. у. Б. было выведено Л. Больцманомв 1872.

Различные обобщения К. у. Б. описывают поведение электронного газа в металлах, Фононов в кристаллической решётке и т.д. (однако чаще эти уравнения называют просто кинетическими уравнениями, или уравнениями переноса). См. Кинетика физическая.

Г. Я. Мякишев

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

интегродифференциальное уравнение, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения систем из большого числа ч-ц, напр. ф-ция распределения f(v, r, t) молекул газа по скоростям v и координатам r, ф-ции распределения эл-нов в металле, фононов в кристалле и т. п. (см. КИНЕТИКА ФИЗИЧЕСКАЯ). К. у. Б.— осн. ур-ние микроскопич. теории неравновесных процессов, физ. кинетики, в частности кинетической теории газов. К. у. Б. в узком смысле наз. кинетич. ур-ние для газов малой плотности. Различные обобщения К. у. Б., напр. для квазичастиц в кристаллах, для эл-нов в металле, также наз. К. у. Б., просто кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа ч-ц (точнее, точек, изображающих состояние ч-ц) в элементе фазового объема dvdr (dv=dvxdvydvz, dr=dxdydz) и выражает тот факт, что изменение ф-ции распределения ч-ц f(v, r, t) со временем t происходит вследствие движения ч-ц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из ч-ц одного сорта, К. у. Б. имеет вид:

где f(v, r, t) dvdr — ср. число ч-ц в элементе фазового объёма dvdr около точки (v, r); F=F(r, t) — сила, действующая на ч-цу;(дf/дt)ст — изменение ф-ции распределения вследствие столкновении; дf/дt — изменение плотности числа ч-ц около точки (v, r) в момент времени t за ед. времени. Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменение ф-ции распределения в результате перемещения ч-ц в пр-ве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями ч-ц, связано с уходом ч-ц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма ч-цами, испытавшими «обратные» столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то в К. у. Б. (1)

Здесь f(v, r, t) и f1(v1, r, t) — ф-ции распределения до столкновения, f' (v', r, t) и f'1(v'1, r, t) — после столкновения, v и v1— скорости ч-ц до столкновения, v', v'1— скорости тех же ч-ц после столкновения, u=?v-v1? — модуль относит. скорости сталкивающихся ч-ц, q — угол между относит. скоростью v-v1 сталкивающихся молекул и линией, соединяющей их центры, s(u, q) dW — дифференциальное эфф. сечение рассеяния ч-ц на телесный угол dW в лаб. системе, зависящее от закона вз-ствия молекул. Для модели молекул в виде упругих жёстких сфер, имеющих радиус R, s=4R2cosq. К. у. Б. (1) было выведено австр. физиком Л. Больцманом (L. Boltzmann) в 1872.

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих ч-ц сферич. формы это область порядка диаметра ч-ц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся молекул (гипотеза мол. хаоса). Если система находится в равновесии статистическом, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. будет Максвелла распределение. Найденное для соответствующих условий решение К. у. Б. позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для разл. процессов переноса (вязкости, диффузии, теплопроводности и др.). Для квант. газов значения эфф. сечений рассчитываются на основе квант. механики (с учётом неразличимости одинаковых ч-ц и того факта, что вероятность столкновения определяется не только хар-ром ф-ций распределения ч-ц до столкновения, но и хар-ром этих ф-ций после столкновения). Для фермионов учёт этих факторов приводит к уменьшению вероятности столкновений, а для бозонов— к увеличению. Интеграл столкновений в этом случае имеет более сложный вид (содержит ff1(1±f'1) (1± f'1) вместо ff1, где верхний знак относится К Ферми — Дирака статистике, а нижний — к Возе — Эйнштейна статистике). Ферми—Дирака распределение и Бозе — Эйнштейна распределение явл. решениями соответствующих квант. К. у. Б. для случая статистич. равновесия.

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

- интегродифференц. ур-ние, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф-ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r, ф-ции распределения электронов в металле, фононов в кристалле и т. п. К. у. Б.- осн. ур-ние мик-роскопич. теории неравновесных процессов ( кинетики физической), в частности кинетической теории газов. К. у. Б. в узком смысле наз. выведенное Л. Больцма-ном (L. Boltzmann) кинетич. ур-ние для газов малой плотности, молекулы к-рых подчиняются классич. механике. К. у. Б. для квазичастиц в кристаллах, напр. для электронов в металле, наз. также кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа частиц (точнее, точек, изображающих состояние частиц) в элементе фазового объёма ; dr= =dxdydz )и выражает тот факт, что изменение ф-ции распределения частиц со временем t происходит вследствие движения частиц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из частиц одного сорта, К. у. Б. имеет вид

где - изменение плотности числа частиц в элементе фазового объёма за единицу времени, F= =F(r,t) - сила, действующая на частицу (может зависеть также и от скорости), - изменение ф-ции распределения вследствие столкновений (интеграл столкновений). Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменения ф-ции распределения в результате перемещения частиц в пространстве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями частиц, связано с уходом частиц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма частицами, испытавшими "обратные" столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то

- скорости частиц до столкновения, - скорости тех же частиц после столкновения, - величина относит. скорости сталкивающихся частиц, - дифференц. эфф. сечение рассеяния частиц в телесный угол в лаб. системе координат, - угол между относит. скоростью и линией центров. Напр., для жёстких упругих сфер, имеющих радиус R,= , для частиц, взаимодействующих по закону центр. сил, (b - прицельный параметр, - азимутальный угол линии центров).

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих частиц это область порядка диаметра частиц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся частиц (гипотеза молекулярного хаоса). Если система находится в статистич. равновесии, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. является Максвелла распределение.

При более строгом подходе для построения К. у. Б. исходят из Лиувилля уравнения для плотности распределения всех молекул газа в фазовом пространстве, из к-рого получают систему ур-ний для ф-ций распределения одной, двух и т д. молекул ( Боголюбова уравнения). Эту цепочку ур-ний решают с помощью разложения по степеням плотности частиц с использованием граничного условия ослабления корреляций, заменяющего гипотезу молекулярного хаоса.

Решение К. у. Б. при разл. предположениях о силах взаимодействия между частицами - предмет кинетич. теории газов, к-рая позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для процессов переноса ( вязкости, диффузии, теплопроводности).

Для квантовых газов значения эфф. сечений рассчитывают на основе квантовой механики с учётом неразличимости одинаковых частиц и того факта, что вероятность столкновения зависит не только от произведения ф-ций распределения сталкивающихся частиц, но и от ф-ций распределения частиц после столкновения. Для фермионов в результате этого вероятность столкновения будет уменьшаться, а для бозонов - увеличиваться. Оператор столкновения в квантовом случае принимает вид

где знак минус соответствует Ферми - Дирака статистике, а знак плюс - Бозе - Эйнштейна статистике, g - статистич. вес состояния (g = l для частиц со спином, равным нулю, и g=2 для частиц со спином ),- импульс частицы. Ф-ции нормированы так, что представляют ср. число частиц в точке . Равновесные ф-ции распределения Ферми и Бозе обращают в нуль оператор столкновения (3).

Важным частным случаем К. у. Б. является кинетич. ур-ние для нейтронов, к-рые рассеиваются и замедляются ядрами среды. В этом случае внеш. сил нет и в ур-нии (1) надо положить F=0. Плотность числа нейтронов обычно мала, так что можно пренебречь столкновениями между ними и учитывать лишь их столкновения с ядрами среды (см. Диффузия нейтронов, Замедление нейтронов).

Процессы переноса, связанные с движением электронов в металле, также можно исследовать с помощью К. у. Б. В отсутствие колебаний решётки электроны свободно распространяются в металле н описываются плоскими волнами, модулированными с периодом решётки и зависящими от волнового вектора k; и номера энергетич. зоны l. Тепловое движение атомов решётки нарушает периодичность и приводит к рассеянию электронов (столкновениям между электронами и фононами). Ф-ция распределения электронов n(k, l, t )удовлетворяет К. у. Б. типа (1), в к-ром F= (E и Н - напряжённости электрич. и магн. полей, е - заряд электрона), а интеграл столкновений имеет вид

где n=n(k,l), - волновые векторы и номера зон до и после столкновения, N= =N (f, s) - ф-ция распределения фононов, f и s - волновой вектор и поляризация фононов, - нач. и конечная энергии электрона при возбуждении фонона с энергией - дельта-ф-ция, - матричные элементы перехода электрона из состояния k, l в состояние , к-рые оценивают, исходя из определ. гипотез о механизме взаимодействия электронов с решёткой. Выражение (4) получено в предположении, что время свободного пробега электронов значительно больше неопределённости для времени столкновения. Теория электропроводности, термоэлектрич. и гальвано-магн. явлений в металлах и полупроводниках основана на решении К. у. Б.

В нек-рых случаях конденсиров. систем, когда известен характер теплового движения, можно построить К. у. Б. для элементарных возбуждений (квазичастиц). Напр., теория процессов переноса энергии в кристал-лич. решётке основана на ур-нии такого типа. Если в выражении для потенц. энергии решётки ограничиться квадратичными относительно смещений атомов членами, то тепловое движение атомов в кристалле описывается свободно распространяющимися фононами - квантами нормальных колебаний решётки. Учёт членов 3-й степени приводит к возможности столкновений между фононами. В результате ф-ция распределения фононов N(f, s) будет изменяться во времени согласно кинетич. ур-нию

коэф. при кубич. членах в разложении потенц. энергии кристалла по отклонениям атомов из положения равновесия, - плотность. Ур-ние (5) описывает тройные столкновения фононов с уничтожением двух фононов и рождением одного (и обратные им процессы). Оно является ур-нием баланса фононов, движущихся в волновом пакете с групповой скоростью и сталкивающихся между собой. Теория теплопроводности непроводящих кристаллов основана на решении ур-ния (5) при малых отклонениях от статистич. равновесия.

К. у. Б. применимо также к процессам, в к-рых частицы испытывают взаимные превращения, напр, в теории ливней, образующихся при попадании космич. частиц больших энергий в атмосферу. В этом случае кинетич. ур-ния составляются как система ур-ний баланса для заряж. частиц и фотонов в данном интервале энергии и импульса. Эти ур-ния выражают тот факт, что изменение ф-ции распределения (кроме эффектов рассеяния) происходит вследствие образования пар заряж. частиц фотонами и испускания заряж. частицами фотонов в виде тормозного излучения в поле ядер.

На решении этих ур-ний основана каскадная теория ливней.

Лит. см. при статьях Кинетическая теория газов. Кинетика физическая. Д. Я. Зубарев.