Большая Советская энциклопедия

    средние значения, числовая характеристика группы чисел или функций.

    1) Средним для данной группы чисел x1, x2,..... xn называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из них. Наиболее употребительными С. являются: Арифметическое среднее

    ,

    Геометрическое среднее

    ,

    Гармоническое среднее

    ,

    Квадратичное среднее

    .

    Если все числа xi (i = l,2,..., n) положительны, то можно для любого α ≠ 0 определить степенное С.

    частными случаями которого являются арифметическое, гармоническое и квадратичное С., именно: s(а равняется a, h иq соответственно при α = 1, —1 и 2. При α → 0 степенное С, sα стремится к геометрическому С., так что можно считать s0 = g. Важную роль играет неравенство sαsβ, если α ≤ β, в частности

    hgaq.

    Арифметическое и квадратичное С. находят многочисленные применения в теории вероятностей, математической статистике, при вычислении по методу наименьших квадратов и др. Указанные выше С. могут быть получены из формулы

    ,

    где f-1(η) — функция, обратная к f(ξ) (см. Обратная функция), при соответствующем подборе функции f(ξ). Так, арифметическое С. получается, если f(ξ)= ξ, геометрическое С. — если f(ξ) = log ξ, гармоническое С. — если f(ξ) = 1/ξ, квадратичное С. — если f(ξ)=ξ2.

    Наряду со степенными С. рассматривают взвешенные степенные С.

    в частности при α = 1,

    ,

    которые переходят в обыкновенные степенные С. при р1 = р2 =... = pn. Взвешенные С. особенно важны при математической обработке результатов наблюдений (см. Наблюдений обработка), когда различные наблюдения производятся с разной точностью (с разным весом).

    2) Арифметико-геометрическое среднее. Для пары положительных чисел а и b составляются арифметическое С. a1 и геометрическое С. g1. Затем для пары a1, g1 снова находятся арифметическое С. a2 и геометрическое С. g2 и т.д. Общий предел последовательностей an и gb, существование которого было доказано К. Гауссом, называется арифметико-геометрическим С. чисел а и b; он важен в теории эллиптических функций.

    3) Средним значением функции называется любое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о С. в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (а, b), то существует точка с, принадлежащая интервалу (а, b), такая, что f(b)— f(a)= (b—a) f’(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о С. является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [а, b], а φ(x) сохраняет постоянный знак, то существует точка с из интервала (а, b) такая, что

    .

    В частности, если φ(x) = 1, то

    .

    Вследствие этого под средним значением функции f(x) на отрезке [а, b] обычно понимают величину

    .

    Аналогично определяют среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  2. Словарь форм слова

    1. сре́дние;
    2. сре́дних;
    3. сре́дним;
    4. сре́дние;
    5. сре́дними;
    6. сре́дних.
  3. Источник: Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку»



  4. Большой энциклопедический словарь

    СРЕДНИЕ - см. Арифметическое среднее, Гармоническое среднее, Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.

  5. Источник: Большой Энциклопедический словарь. 2000.



  6. Энциклопедический словарь

    сре́дние

    см. Арифметическое среднее, Гармоническое среднее, Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.

    * * *

    СРЕДНИЕ

    СРЕ́ДНИЕ, см. Арифметическое среднее(см. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ), Гармоническое среднее(см. ГАРМОНИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ), Геометрическое среднее(см. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ), Квадратичное среднее(см. КВАДРАТИЧНОЕ СРЕДНЕЕ).

  7. Источник: Энциклопедический словарь



  8. Большой энциклопедический политехнический словарь

    в математике - см. Арифметическое среднее, Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.

  9. Источник: Большой энциклопедический политехнический словарь



  10. Большой Энциклопедический словарь

    СРЕДНИЕ
    СРЕДНИЕ - см. Арифметическое среднее, Гармоническое среднее, Геометрическое среднее, Квадратичное среднее.

    Большой Энциклопедический словарь. 2000.

  11. Источник: