«Чаплыгина неравенство»

одно из важнейших дифференциальных неравенств. Если y’'(x) = f(x, y) и функции u(х) и v(x) удовлетворяют дифференциальным неравенствам u’'(х)—f(x, u) >0и v’'(x)— f(x,v) <>0(x₀≤x≤x₁) и u(х₀) = v(x₀) = y₀, то решение y(x) дифференциального уравнения у’'(х) = f(x, y),проходящее через точку (x₀,y₀), заключено между функциями u(х) и v(x), то есть u(х)> у(х)> v(x),(x₀ <> ≤ x₁).Эта теорема (здесь изложен простейший случай) была доказана С. А. Чаплыгиным(1919) и положена им в основу метода приближённого интегрирования дифференциальных уравнений (см. Чаплыгина метод). Чаплыгин доказал аналогичную теорему для уравнения у⁽ⁿ⁾—f(x,у,y',...,y^(n―1)) = 0 и распространил её на уравнения с частными производными.