«Неопределённых коэффициентов метод»

метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, В и С — коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:

(А + В + С) х² + (В - С) х - А = 3x² - 1.

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях хсправа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В - С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь

в виде

где А, В, С и D — неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:

Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А -2B + 3C= 1, —А + В + 3D = 1, A + C - 2D= —1, В - С + D = 0, откуда A= 0,В =—¹/₂, С= 0, D = ¹/₂, т. е.

В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, ВиС четыре уравнения А -2В + 3С = 1, —A - B = 1,A + C = —1, В - С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С.

Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у= 0 и y'= 1 при х= 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

у = х + c₂x² + c₃x³ + c₄x⁴ + c₅x⁵ + ․․․.

Подставляя это выражение вместо ув правую часть уравнения, а вместо y" — выражение

2c₂ + 3·2с₃х + 4·3с₄х² + 5·4с₅х³ + ․․․,

затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают

2c₂ + 3·2c₃x + (1 + 4·3c₄) x² + (c₂ + 5·4c₅) x³ + ․․․ = 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c₂ = 0; 3·2с₃ = 0; 1 + 4·3c₄ = 0; c₂ + 5·4c₅ = 0;...

Решая последовательно эти уравнения,

т. е.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

построения численных алгоритмов - специальный метод построения алгоритмов, основанный на требовании, чтобы алгоритм был точен или имел погрешность определенного порядка точности на нек-ром множестве задач.

Типичным примером задач, к-рые наряду с другими методами могут решаться Н. к. м., являются следующие (см. [1], [2]). Известны значения функции . Требуется построить формулу для приближения функции:

формулу для вычисления производной:

формулу для вычисления интеграла:

Для решения последней из этих задач задаются нек-рой формой приближенного решения, напр, линейной

и определяют коэффициенты из требования, чтобы приближенная формула была точной для функций из нек-рой совокупности, напр, вида

где фиксированы, произвольны. Как правило, берут . Чтобы равенство

выполнялось при всех , достаточно выполнения соотношений

Отсюда определяют (если это возможно) искомые Иногда задаются более сложной формой зависимости. Напр., при приближении функций часто известно, что рассматриваемая функция хорошо приближается функциями вида где неизвестны. Параметры а _т подбирают из системы уравнений

В случае формул численного интегрирования в качестве неизвестных параметров часто выступают и координаты узлов интегрирования. Напр., в квадратурных формулах Гаусса вида

рассматриваются как свободные параметры координаты узлов ; благодаря этому удается построить квадратуры, точные для многочленов степени . При конструировании аппроксимаций дифференциальных уравнений с помощью Н. к. м. требуют, чтобы при подстановке в конечноразностную схему решения задачи получалась величина рассогласования (невязка )требуемого порядка малости по отношению к шагу сетки. Такой прием положен в основу способов построения методов Рунге - Кутта и конечноразностных методов (см. [1], [2]).

Особенно широко Н. к. м. используется при построении аппроксимаций уравнений с частными производными (см. [3]).

Лит.:[1] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; 2 изд., т. 2, М., 1962; [2] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Годунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схемы. Введение в теорию, 2 изд., М., 1977.

Н. С. Бахвалов.

- нахождение искомой функции в виде точной или приближенной линейной комбинации (конечной или бесконечной) известных функций. Указанная линейная комбинация берется с неизвестными коэффициентами, к-рые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраич. уравнений.

Классич. примером Н. к. м. является его использование для разложения правильной рациональной дроби в комплексной или действительной области на элементарные дроби. Пусть Р(z) и Q(z) алгебраич. многочлены с комплексными коэффициентами, причем степень пмногочлена Р(z) меньше степени тмногочлена Q(z), коэффициент при старшем члене многочлена Q(z) равен 1, z_i -корень многочлена Q(z)кратности ,

и, следовательно,

Правильная рациональная дробь представима и притом единственным образом в виде

где - неизвестные пока комплексные числа (их всего т). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, в каждой части к-рого стоят многочлены степени не выше чем т- 1: в левой части с известными коэффициентами, в правой - в виде линейных комбинаций неизвестных чисел . Приравниванием коэффициентов у одинаковых степеней переменного z получается система тлинейных уравнений относительно A _iv, к-рая в силу существования и единственности разложения (1) имеет и притом единственное решение. Иногда бывает удобно использовать несколько иные приемы нахождения коэффициентов . Напр., пусть все корни многочлена простые и, следовательно, разложение (1) имеет вид

После приведения к общему знаменателю обеих частей и его отбрасывания получается равенство

Полагая в нем последовательно сразу получают

В общем случае бывает полезно комбинировать оба указанных приема нахождения коэффициентов A _iv .

Пусть и - многочлены с действительными коэффициентами,

где - действительные корни многочлена соответственно кратностей а квадратный трехчлен с действительными коэффициентами является произведением где - существенно комплексный корень кратности , многочлена и

Тогда для правильной рациональной дроби существует п притом единственное разложение вида

где коэффициенты и , суть действительные числа. Метод их отыскания тот же, что и в описанном выше комплексном случае: равенство (2) приводится к общему знаменателю, после отбрасывания к-рого приравниваются коэффициенты у одинаковых степеней переменной хв обеих частях равенства. В результате получается система туравнений с тнеизвестными имеющая единственное решение.

Разложение правильных рациональных дробей на элементарные применяется, напр., для разложения рациональных дробей в ряд Лорана (в частности, в ряд Тейлора), для интегрирования рациональных дробей. Н. к. м. используется также при интегрировании рациональных дробей с помощью Остроградского метода, при интегрировании функций вида В этом случае интеграл имеет вид

где степень многочлена Q(х)на единицу меньше степени многочлена Р(х). Для нахождения коэффициентов многочлена Q(х)и числа равенство (3) дифференцируется. После приведения к общему знаменателю и его отбрасывания приравниваются коэффициенты у одинаковых степеней переменной х. В результате снова получается система линейных уравнений с единственным решением. Подобные методы интегрирования могут быть применены и в нек-рых других случаях.

Н. к. м. применяется при отыскании решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными) в виде степенных рядов. Для этого в окрестности рассматриваемой точки степенной ряд с неопределенными коэффициентами подставляется в данное уравнение. Иногда в результате для коэффициентов ряда получаются соотношения, из к-рых с помощью заданных начальных или граничных условий удается найти эти коэффициенты, а следовательно, и решение уравнения в виде ряда. Напр., решая таким образом гипергеометрическое уравнение, можно получить разложение в ряд гипергеометрической функции.

Н. к. м. применяется и в др. способах решения дифференциальных уравнений, напр. Галеркина методе, Ритца методе, Треффца методе;используется в численных методах: в методе Крылова получения коэффициентов векового уравнения, при приближенном решении интегральных уравнений.

Л. Д. Кудрявцев.