«Интегральные уравнения»

Интегральные уравнения в словарях и энциклопедиях

Значение слова «Интегральные уравнения»

Источники

    Большая Советская энциклопедия

    уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А, занимающего отрезок 0 ≤ xl оси Ox, причём освещённость объекта характеризуется плотностью u(x). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x1;последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 ≤ x1l .Если дифференциально малый участок (х, х + Δх) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K(x1, x)u(x)dx, где функция K(x1, x) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность

    В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v(x1) изображения или «точного» фотографического изображения [v(x) = ku(x), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u(x) — v(x) = f(x)], приходят к различным И. у. относительно функции u(x):

    Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида

    линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,—уравнение вида

    [при f(x) ≡ 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром λ:

    Во всех уравнениях функция

    —так называемое ядро И. у. — известна, так же, как функция f(x) (ахb); искомой является функция u(x) (ахb).

    Функции K(x, y), f(x), u(x) и параметр уравнения λ могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K(x, y) обращается в нуль при у > х, получается уравнение Вольтерра:

    И. у. называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K(x, y) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата ахb, аyb или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение

    Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида

    или

    Линейные И. у. 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u(x) получается в виде ряда по степеням λ (сходящегося в некотором круге |λ|K) с коэффициентами, зависящими от х(метод Вольтерра — Неймана); 2) решение u(x), при тех значениях λ, при которых оно вообще существует, выражается через некоторые целые функции от λ (метод Фредгольма); 3) в случае, когда ядро симметрично, т. е. К(х, y) ≡ К(у, x), решение u(x) выражается в виде ряда по ортогональным функциям uк(х), являющимся ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения

    (последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра λ = λк, k = 1, 2, ...) (метод Гильберта — Шмидта); 4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью Лапласа преобразования (См. Лапласа преобразование); 5) в случае, когда

    (так называемое вырожденное ядро), отыскание u(х) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к К(х, y) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К(х, у). К И. у. часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность.

    Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957; Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., М., 1965; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962.

    Д. А. Васильков.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  2. Большой энциклопедический политехнический словарь

    ур-ния, содержащие неизвестные ф-ции под знаком интеграла. К И. у. приводятся мн. задачи естествознания и техники, например задача о колебаниях, задача о рассеянии лучистой энергии и т. д.

  3. Источник: Большой энциклопедический политехнический словарь