Эрмита многочлены в словарях и энциклопедиях
специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0,1,2,... Э. м. Hn (x) могут быть определены формулой:
В частности, Ho = 1, H1 = 2х. H2 = 4x2 — 2, H3 = 8x3 — 12x, H4= 16х4 — 48х2 + 12. Э. м. ортогональны на всей оси Ox относительно веса е-х (Ортогональные многочлены). Дифференциальное уравнение для у = Hn (x).
y " — 2ху' + 2ny = 0;
рекуррентные формулы:
Hn+1(х)— 2xHn (x)+ 2nHn-1(х)=0,
Иногда за Hn принимают многочлены, отличающиеся от указанных выше множителями, зависящими от n, а иногда в качестве веса берут Чебышевым (1859) и Ш. Эрмитом(1864).
многочлены Чебышева - Эрмита,- многочлены, ортогональные на интервале с весовой функцией k(x)=ехр(- х 2). Стандартизованные Э. м. определяются Родрига формулой
Наиболее употребительны формулы
Первые Э. м. имеют вид
Многочлен Hn (х)удовлетворяет дифференциальному уравнению у"-2ху'+ 2ny = 0. Ортонормированные Э. м. определяются равенством
Э. м. с единичным старшим коэффициентом имеют вид
Ряды Фурье по Э. м. внутри интервала аналогичны тригонометрич. рядам Фурье.
В математич. статистике и теории вероятностей применяются Э. м., соответствующие весовой функции
Определение Э. м. встречается у П. Лапласа [1]. Подробное исследование этих многочленов опубликовал П. Л. Чебышов в 1859 (см. [2]). Затем эти многочлены изучал Ш. Эрмит [3]. В. А. Стеклов [4] доказал плотность множества всех многочленов в пространстве функций, квадрат к-рых интегрируем с весом h(x)=ехр(-x2) на всей оси.
См. также Классические ортогональные многочлены.
Лит.:[1] Lарlaсе P. S., лMem. classe sci. math., phys. inst. France