«Муавра формула»

формула, содержащая правило для возведения в степень n комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

z = ρ (cos φ + i sin φ);

согласно М. ф., модуль ρ комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент φ умножается на показатель степени

zⁿ = [ρ (cos φ + i sin φ)] ⁿ = ρⁿ (cos nφ + i sin nφ).

М. ф. была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

М. ф. может быть легко использована для выражения cos nφ и sin nφ через степени cos φ и sin φ; положив в М. ф. ρ = 1 и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим

cos nφ = cosⁿ φ - C_n² cos^n-2 φ sin² φ + C_n⁴ cos^n-4 φ sin⁴ φ -...,

sin nφ = C_n¹ cos^n-1 φ sin φ - C_n³ cos^n-3 φ sin³ φ +...,

где C_n^m = n!/m!(n - m)! — биномиальные коэффициенты (см. Ньютона бином). Обращение М. ф. приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа.

МУАВРА формула - формула для нахождения n-й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической форме согласно формуле Муавра,Найдена А. Муавром (1707).

Муа́вра фо́рмула

формула для нахождения n-й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической формеz = r(cosφ + isinφ);согласно формуле Муавра,zⁿ = rⁿ(cosnφ + isinnφ).Найдена А. Муавром (1707).

* * *

МУА́ВРА ФО́РМУЛА, формула для нахождения n-й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрической форме

согласно формуле Муавра,

Найдена А. Муавром (1707).

- формула, выражающая правило для возведения в степень п комплексного числа, представленного в тригонометрич. форме

Согласно М. ф. модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени

М. ф. была найдена А. Муавром (A. Moivre, 1707), современная ее запись предложена Л. Эйлером (L. Euler, 1748).

М. ф. может быть использована для выражения и через степени и :

Обращение М. ф. приводит к формуле для извлечения корня из комплексного числа:

к-рую также иногда наз. М. ф.

БСЭ-3.

ф-ла для нахождения п-й степени комплексного числа z, представленного в тригонометрич. форме z = r(cos ф + i sin ф);

согласно М. ф., Найдена А. Муавром (1707).