«Лобачевского метод»

метод приближённого (численного) решения алгебраических уравнений, найденный независимо друг от друга бельгийским математиком Ж. Данделеном, русским математиком Н. И. Лобачевским (в 1834 в наиболее совершенной форме) и швейцарским математиком К. Греффе. Суть Л. м. состоит в построении уравнения f₁(x) = 0, корни которого являются квадратами корней исходного уравненияf(x) = 0. Затем строят уравнение f₂(x) = 0, корнями которого являются квадраты корней уравнения f₁(x) = 0. Повторяя этот процесс несколько раз, получают уравнение, корни которого сильно разделены. В случае если все корни исходного уравнения действительны и различны по абсолютной величине, имеются простые вычислительные схемы Л. м. для нахождения приближённых значений корней. В случае равных по абсолютной величине корней, а также комплексных корней вычислительные схемы Л. м. очень сложны.

Лит.: Лобачевский Н. И., Алгебра или вычисления конечных, Полн. собр. соч., т. 4, М. — П., 1948; Березин И. О., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962.

метод Греффе, метод Данделена,- метод для одновременного вычисления всех корней многочлена. Пусть корни r₁, r₂,..., r _п многочлена

удовлетворяют неравенствам

В качестве приближений к корням могут быть взяты отношения

Пусть теперь корни f(z), хотя и не выполнено (2), все же различны по абсолютной величине. Л. м. заключается в применении к уравнению f(z) = 0 процесса квадрирования, к-рый при достаточном числе повторений приводит к уравнению с корнями, удовлетворяющими условиям (2). К в а д р и р о в а н и е состоит в переходе от очередного многочлена f_r(z) к многочлену f_r+1(z) той же степени, корни к-рого равны квадратам корней f_r(z). Переход выполняется по рекуррентным формулам.

Применение Л. м. возможно и при наличии групп равных по абсолютной величине корней, хотя это приводит к осложнениям в логике и формулах метода. Достоинством метода является то, что не требуется знания начальных приближений к корням многочлена. В случае различных по абсолютной величине корней скорость сходимости процесса асимптотически квадратичная. '

Л. м. является, однако, численно неустойчивым, т. к. процесс квадрирования приводит к очень быстрому накоплению вычислительной погрешности. В связи с этим предпринимались попытки придать Л. м. самоисправляющуюся форму. Так, напр., для вычисления корней многочлена (1) строится последовательность многочленов g_r(z) степени связанных соотношениями

отсюда

При каждом фиксированном kищутся многочлены определяемые следующим образом:

ДЛЯ

есть многочлен вида

имеющий степень

Если корни многочлена f(z)

удовлетворяют неравенствам

то

где f*(z) - многочлен f(z),.нормированный делением на коэффициент при старшем члене. Таким образом, из исходного многочлена выделяются множители, соответствующие группам равных по абсолютной величине корней (см. [3]). Л. м. предложен Н. И. Лобачевским в 1834 (см. [1]).

Лит.:[1] Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 4, М.- Л., 1948; [2] Б е р е з и н И. С., Ж и д к о в Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [3] Sebastiao е S i l v a J., "Portug. Math.", 1941, №2. p. 271-79; [4] Householder A. S., S t e w a r t G. W., "SIAM Rev.", 1971, V. 13, p. 38 - 46. X. Д. Икрамов.