«Коши теорема»

Коши теорема в словарях и энциклопедиях

Зарегистрироваться на сайте Подробнее
Значение слова «Коши теорема»

Источники

  1. Большая Советская энциклопедия
  2. Физическая энциклопедия
  3. Математическая энциклопедия

    Большая Советская энциклопедия

    о разложении аналитической функции (См. Аналитические функции) в степенной ряд. Пусть f (z) — функция, однозначная и аналитическая в области G; z0 — произвольная (конечная) точка области G и ρ — расстояние от z0 до границы этой области. Тогда существует степенной ряд, расположенный по степеням z — z0, сходящийся в круге |z—z0| <> и представляющий в этом круге функцию f (z):

    Граница области G может сводиться к бесконечно удалённой точке; в этом случае ρ следует считать равным бесконечности. Эта теорема была установлена О. Коши (1831), исходившим из представления аналитической функции в виде Коши интеграла.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



    2. Физическая энциклопедия

    КОШИ ТЕОРЕМА

    - теорема об обращении в нуль интеграла от аналитической функции, взятого вдоль замкнутого контура. Точнее, пусть ф-ция f(t) аналитична в области D, а 2529-76.jpg - кусочно-гладкий контур, лежащий в D и не содержащий внутри себя особенностей ф-ции f(z). Тогда, согласно К. т., контурный интеграл 2529-77.jpg равен нулю. Доказана О. Коши в 1825. Геометрически К. т. означает, что векторное поле, компонентами к-рого являются соответственно веществ. и мнимая части аналитич. ф-ции, потенциально и соленоидально, т. е. его дивергенция и ротор равны нулю. Справедливо и обратное утверждение (теорема Мореры): если ф-ция f(z) непрерывна в односвязной области D и такова, что для любого кусочно-гладкого замкнутого контура 2529-79.jpg, лежащего в D, то f(z) аналитична в D. К. т. играет важную роль в теории аналитич. ф-ций. На ней основано представление аналитич. ф-ции в виде Коши интеграла, она используется в теории вычетов и т. д.

    2529-78.jpg

    Б. И. Завьялов.

  2. Источник: Физическая энциклопедия



    3. Математическая энциклопедия

    - 1) К. т. о многогранниках: два замкнутых выпуклых многогранника конгруэнтны, если между их истинными гранями, ребрами и вершинами имеется сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие, причем соответствующие грани многогранников конгруэнтны. К. т.- первая теорема об однозначной определенности выпуклых поверхностей, поскольку многогранники, о к-рых идет речь в К. т., изометричны в смысле внутренней метрики. К. т. является частным случаем теоремы о том, что всякая замкнутая выпуклая поверхность однозначно определяется своей метрикой (см. [4]).

    К. т. установлена О. Коши (см. [1]).

    Лит.:[1]Cauchy A. L., "J. Ecole polytechn.", 1813, t. 9, p. 87-98; [2] А л е к с а н д р о в А. Д., Выпуклые многогранники, М.- Л., 1950; [3] А дам ар Ж., Элементарная геометрия, 3 изд., ч. 2, М., 1958; [4] Погорелов А. В., Однозначная определенность выпуклых поверхностей, М.- Л., 1949 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 29). Е. В. Шикин.

    2) К. т. о промежуточных значениях непрерывной функции на отрезке: если функция f, значениями к-рой являются действительные числа, непрерывна на [a, b]и число Слежит между f(a) и f(b), то существует такая точка что В частности, если f(a) и f(b).имеют разные знаки, то существует такая точка , что В этой форме К. т. используют для выделения промежутков, в к-рых заведомо имеются нули рассматриваемой функции. Из К. т. следует, что образом промежутка числовой прямой при его непрерывном отображении в числовую прямую является также промежуток. К. т. допускает обобщение на топология, пространства: всякая непрерывная функция определенная на связном топологич. пространстве X( - множество действительных чисел), принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними, поэтому образ пространства Xтакже промежуток числовой прямой.

    К. т. была сформулирована независимо Б. Больцано (В. Bolzano, 1817) и О. Коши (A. Cauchy, 1821).

    3) К. т. о среднем значении - обобщение формулы конечных приращений Лагранжа. Если функции fи g принимают действительные значения, непрерывны на [ а, b]и дифференцируемы на ( а, b), причем на (а, b), а потому то существует такая точка что

    При получается формула конечных приращений Лагранжа. Геометрич. смысл К. т. состоит в том, что на всякой непрерывной кривой x=f(t), y=g(t). лежащей на плоскости хОу и имеющей в каждой точке (f(t). g(t)).касательную, есть точка в к-рой касательная параллельна хорде, соединяющей концы (f(a), g(a)) и(f(b), g(b)).рассматриваемой кривой.

    Лит.:[1] Ильин В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [3] Н и к о л ь с к и и С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.

    4) К. т. в теории групп: если порядок конечной группы Gделится на простое число р, то Gобладает элементами порядка р.

    Теорема была доказана О. Коши (см. [1]) для групп подстановок.

    Лит.:[1] С а и с h у A. L., в кн.: Exercices d'analyse et de physique mathematique, t. 3, P., 1844, p. 151-252; [2] К у-p о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967.

  3. Источник: Математическая энциклопедия