«Лагерра многочлены»

(по имени французского математика Э. Лагерра, Е. Laguerre; 1834—86)

специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2 ... Л. м. L_n(x) могут быть определены формулой:

;

в частности:

L₀(x)=1, L₁(x)= x -1, L₂(x)= x² -4x + 2, L₃(x)= x³ - 9x²+ 18x- 6.

Л. м. ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на полупрямой х ≥ 0 относительно веса е^-х. Дифференциальное уравнение:

ху’’ +(1— х)у’ + ny = 0.

Рекуррентная формула:

L_n+1(x)=(x -2n -1)L_n(x)- n²L_n-1(x).

Лит.: Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.

многочлены Чебышева - Лагерра,- многочлены, ортогональные на интервале с весовой функцией где a>-1. Стандартизованные Л. м. определяются формулой

представление с помощью гамма-функции:

В применениях наиболее важны формулы:

Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению (уравнению Лагерра)

Производящая функция Л. м. имеет вид

Ортонормированные Л. м. выражаются через стандартизованные многочлены:

Множество всех Л. м. плотно в пространстве функций, квадрат к-рых интегрируем с весом j(x) на интервале

Наиболее часто употребляются Л. м. при условии a=0, исследованные Э. Лагерром [1], обозначаются в этом случае (в отличие от них Л. м. иногда называют обобщенными). Несколько первых Л. м. имеют вид

Л. м. иногда обозначается

Лит.:[1] Laguerre E., "Bull. Soc. math. France", 1878, t. 6, p. 72-78; [2] С т е к л о в В. А., "Изв. Имп. АН", 1916, [т. 10], с. 633-42; [3] С е г ё Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [4] С у е т и н П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979. Я. К. Суетин.