«Кардано формула»

формула для нахождения корней кубического уравнения

x³+px+q= 0

(к такому виду может быть приведено всякое кубическое уравнение). К. ф. имеет следующий вид:

Всякий кубический корень имеет три значения, среди которых не более одного действительного. Значения кубических корней, стоящих в К. ф., следует брать такими, чтобы их произведение было равно —р/3; именно эти значения и нужно складывать, чтобы получить корень уравнения. Таким путём можно найти три корня уравнения (см. Кубическое уравнение). К. ф. названа по имени Дж. Кардано и впервые была опубликована им в 1545, хотя вопрос о том, была она найдена самим Кардано или заимствована им от Н. Тартальи (См. Тарталья), или даже ещё раньше (около 1515) открыта С. Ферро, нельзя считать вполне решенным.

- формула для отыскания корней кубического уравнения над полем комплексных чисел

К такому виду может быть приведено любое кубич. уравнение. К. ф. для уравнения (1) имеет вид:

Применяя эту формулу, нужно для каждого из трех значений кубич. корня

брать то значение корня

для к-рого выполняется условие ab=-р/3 (такое значение корня b всегда существует). В К. ф. числа ри q- любые комплексные. В случае действительных коэффициентов ри qсвойство корней уравнения быть действительными или мнимыми зависит от знака дискриминанта уравнения

При D>0 все три корня уравнения действительны и различны. Но по К. ф. корни выражаются через кубич. радикалы с мнимыми подкоренными выражениями. Хотя в этом случае как коэффициенты, так и корни действительны, корни не могут быть выражены через коэффициенты при помощи радикалов из действительных чисел, ввиду чего данный случай получил название неприводимого. При D = 0 все корни действительны, причем при ри q, отличных от нуля, имеется один двукратный и один однократный корень, а при р=q=0- один трехкратный корень. При D<0 все три корня различны, причем один корень является действительным, а два других - сопряженными мнимыми числами.

К. ф. названа по имени Дж. Кардано (G. Cardano), впервые опубликовавшего ее в 1545.

Лит.:[1] Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975.

И. В. Проскуряков.