«Ритца и Галёркина методы»

широко распространённые Прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи, Вариационное исчисление).

Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан ФункционалV[y(x)] (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у(х), принимающую в точках x₀ и x_i заданные значения α = у(х₀) и β = у(х₁), на которой функционал V[y(x)] будет достигать Экстремума.Значения исследуемого на экстремум функционала V[y(x)] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у(х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида

с постоянными коэффициентами a_i, составленных из n первых функций некоторой выбранной системы φ₁(x), φ₂(х),...,φ_п (х),... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций φ₁(х) является требование, чтобы функции у_п (х) удовлетворяли условиям уп(х_о)=α и y_n (x₁) =α для всех значений параметров a_1. При таком выборе функций у_п (х) функционал V[y(x)] превращается в функцию Ф (а₁, a₂,..., a_n) коэффициентов a_i, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений

i=1, 2, ..., n).

Например, пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла

при условии y(0) = y(1) = 0. В качестве функций φ_i (x) можно взять xⁱ (1— х), тогда

Если n = 2, то a₁ и a₂ получаем после вычислений два уравнения

Решением этих уравнений являются числа a₁=71/369 и a₂ = ⁷/₄₁. Следовательно,

Найденное этим методом приближённое решение у_п (х) вариационной задачи при некоторых условиях, касающихся в основном полноты системы функций φ_i (x), стремится к точному решению у(х), когда n → ∞.

Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).

Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галёркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения

L [u] = 0 (1)

(L— некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям:

u = 0. (2)

Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L [u] тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность) любой функции в области D. Приближённое решение уравнения (1) ищут в виде

где ψ_i (x, y) (i = 1, 2,..., n) — линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций ψ₁(x, у), ψ₂(х, у),...,ψ_п (х, у),...,полной в данной области. Постоянные коэффициенты a_i выбирают так, чтобы функция L [u_n] была ортогональна в Dпервым n функциям системы ψ_i (x, y):

(i=1, 2, ..., n).

Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона

при условии u= 0 на S. Выбирая систему функций ψ_i (x, y), ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов aiимеет вид:

(i=1, 2, ..., n).

Функции ψ_i (x, y) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть ω(x, y) — непрерывная функция, имеющая внутри области Dнепрерывные частные производные второго порядка и такая, что ω(x, y) > 0внутри D,ω(x, y)= 0 на S. Тогда в качестве системы функций ψ_i (x, y) можно взять систему, составленную из произведений ω(x, y)на различные степени х и y: D является окружность S радиуса R с центром в начале координат, то можно положить ω(x, y) =R² — x² — y².

Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа (См. Функциональный анализ) для решения уравнений вида Au — f= 0, где А —линейный оператор, определённый на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве H, u — искомый и f— заданный элементы пространства H.

Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым, в связи с чем иногда именуется методом Бубнова — Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).

Лит.:Галёркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, «Вестник инженеров», 1915, т. 1, № 19, с. 897—908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. — Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. — М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, «Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten», Göttingen, 1908; его же, Über еще neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, «Journal für die reine und angewandte Mathematik», 1909, Bd 135.

В. Г. Карманов.