«Неопределенные выражения»

Неопределенные выражения в словарях и энциклопедиях

Значение слова «Неопределенные выражения»

Источники

    Словарь Брокгауза и Ефрона

    Под этим именем в математике известны такие выражения, как 0/0; ∞/∞ и проч., которые могут быть приравнены какой угодно величине. Например, можно утверждать, что 0/0=5, и что 0/0=2, и что 0/0=10, потому что эти равенства равносильны равенствам 5∙0=0; 2∙0=0; 10∙0=0, которые, в свою очередь, верны, так как всякая конечная величина при умножении на нуль дает нуль. Если же функция какого-нибудь переменного x обращается при каком-либо значении этого переменного в Н. выражение, то, благодаря непрерывности изменения переменного и функции, неопределенность может оказаться только кажущейся и можно найти вполне определенный предел, к которому стремится функция при приближении переменного к упомянутому его значению. Например, выражение (x2—a2)/(x—a), если положить в нем x=a, обращается в (a2—a2)/(a—a), т. е. в 0/0; предел же, к которому стремится выражение (x2—a2)/(x—a)=x+a, т. е. 2a (при x=a). В дифференциальном исчислении (см.) даются общие приемы для нахождения пределов неопределенных выражений. Например, для нахождения предела выражения вида 0/0 нужно взять производную числителя и разделить ее на производную знаменателя; подставив затем в полученную величину то самое значение переменного, которое обращало данную функцию в 0/0, получим искомый предел. Например, предел выражения (sinx)/x при x=0, равен результату подстановки x=0 в [(dsinx)/dx]/[(dx/dx)]=cosx; подставляя x=0 в cosx, получим 1, что и есть искомый предел.

    H. Д.

  1. Источник: Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона



  2. Большая Советская энциклопедия

    в математике, выражения, Предел которых не может быть найден путём непосредственного применения теорем о пределах. Типы Н. в.:

    К Н. в. относятся:

    причём

    причём

    где e = 2,71828... — Неперово число. Указанные типы Н. в. символически обозначают так:

    Следует отметить, что данная функция может являться Н. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (например, выражение

    не является Н. в.). Не всякое Н. в. имеет предел; так, выражение

    не стремится ни к какому пределу

    Нахождение предела Н. в. (в случае, когда он существует) называют иногда «раскрытием неопределённости», или нахождением «истинного значения» Н. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся уже Н. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраических преобразований.

    Так, например, сокращая в выражении

    числитель и знаменатель на 1—x,получаем

    поэтому

    Для вычисления пределов Н. в. типов 1) и 2) часто оказывается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая, что в этих случаях

    если f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки x0, за возможным исключением самой точки x0, и второй предел существует. Пользуясь этой теоремой, находим, например, что

    Иногда

    вновь является Н. в. вида 1) или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели: например, применение теоремы Лопиталя к Н. в.

    [f(x) = ex + e-x, g(x) =ex — e-x]при x→ 0 ничего не даёт. Может также случиться, что

    не существует, тогда как

    типа 1) или 2) всё же существует; пример:

    не существует. Мощным средством нахождения пределов Н. в. является разложение функций в ряды. Например, так как

    то

    Н. в. видов 3)—7) могут быть сведены к одному из видов 1) или 2). Так, например, при х→ π/2 Н. в.

    вида 4) преобразуется к виду 1):

    а последнее Н. в. имеет предел 0; Н. в. вида 3) приводится к Н. в. вида 1) или 2) преобразованием

    где

    Наконец, если через u(х) обозначить логарифм Н. в. видов 5), 6) и 7): u(x) = g(x) lnf(x), то u(х) является Н. в. вида 3), которое, как указано, сводится к Н. в. вида 1) или 2). Так как{f(x)} g (x) = eu (x), то, найдя предел u(х) (если он существует), можно найти и предел данного Н. в. Например, для xx при x→ 0 имеем

    и, следовательно,

    Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973.

  3. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.