«Операционное исчисление»

один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. О. и. имеет особенно важное значение в механике, автоматике, электротехнике и др. В основе метода О. и. лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми др. функциями (изображениями), получаемыми из первых по определённым правилам (обычно, изображение — функция, получаемая из данной Лапласа преобразованием). При такой замене оператор дифференцирования р=

Для развития О. и. большое значение имели работы английского учёного О. Хевисайда. Он предложил формальные правила обращения с оператором р = f(t), 0 ≤ tF(z),z= x+iy:

f(t) → F(z),

то производная

f(t)→zF(z)– f(0) (*)

и интеграл

Следовательно, оператор дифференцирования р переходит в оператор умножения на переменную z, а интегрирование сводится к делению на z. В след. краткой таблице даны (при t≥0) примеры соответствия

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| оригинал →       | изображение     |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| f (t)   | F (z)  |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| 1      | 1/z    |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| t ⁿ     | n!/z ⁿ⁺¹ (n > 0 – целое)       |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| е ^λt    | 1/(z – λ)    |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| cos wt       | z/(z ² + ω²)        |

|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| sin wt        | ω/(z ² + ω²)       |

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Пример. Найти методом О. и. решение у = f(t) линейного дифференциального уравнения

у”– у'– 6у= 2e ^4t

при начальных условиях

y₀ = f(0) = 0 и y₀'=f’(0) = 0.

Переходя от искомой функции f(t) и данной функции 2e^4t к их изображениям F (z) и 2/(z – 4) (см. табл.) и применяя формулу (*) для изображения производных, получим

z²F(z) – zF(z) – 6F(z) =

или

F(z) =

Откуда (опять по таблице)

y = f(t) =

Другой путь обоснования О. и. предложен польским математиком Я. Микусиньским (1953), опиравшимся на понятие функционального кольца. Для обоснования методов О. и. можно воспользоваться теорией обобщённых функций. Имеются различные обобщения О. и. Существует многомерное О. и., основанное на теории кратных интегралов. Созданы О. и. дифференциальных операторов, отличных от оператора р= B = Эти теории также основываются на изучении функциональных колец, в которых надлежащим образом определено понятие произведения функций.

Лит.: Диткин В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; их же, Операционное исчисление, М., 1966; Микусинский Я., Операционное исчисление, пер. с польск., М., 1956; Штокало И. 3., Операционное исчисление, К., 1972.

В. А. Диткин.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. В основе метода лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами), получаемыми из данных по определенным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над образами.

operational calculus

operational calculus

раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования). Теория операторов. Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых "точки" в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.

См. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ.

Проблемы и приложения. Пусть D и R - действительные линейные или векторные пространства, необязательно различные. Их элементами являются векторы, поэтому сумма двух элементов и произведение элемента на скаляр определены и удовлетворяют обычным условиям, предъявляемым к векторам. Существование конечных базисов в D и R необязательно. Пусть r, вектор из R, соответствует вектору d из D. Обозначим это соответствие T(d) = r или Td = r. Тогда T называется оператором с областью определения D и областью значений R. Оператор T является дистрибутивным, если

где l и l' - любые действительные числа, а d и d' - любые элементы из D. Если D и R - топологические векторные пространства, в которых ld и d + d' - непрерывные операции, то дистрибутивный непрерывный оператор называется линейным оператором. Если Q содержит D и R, то T2(d) определяется как T(T(d)) и аналогичным образом определяется Tn(d), если все эти операции имеют смысл. Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями. Двумя важными дистрибутивными операторами являются операторы дифференцирования p и интегрирования p-1. Элементами линейных пространств D и R в этом случае будут функции переменной x. Имеем

где m и n - неотрицательные целые числа. Так как интегрирование приводит к появлению произвольной постоянной, p-1p необязательно является тождественной операцией p0. Формальные правила комбинирования таких операторов восходят к Дж. Булю (1815-1864); например,

по теореме Тейлора (см. также КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ). В исчислении Хевисайда, разработанном О. Хевисайдом (1850-1925), пространство D ограничено областью определения функций f (x), тождественно равных нулю при отрицательных x. Главную роль играет функция 1(x), равная 0 при отрицательных x и 1 при неотрицательных x. Приведем некоторые "правила" исчисления Хевисайда:

Если n! заменить гамма-функцией Г(n + 1), то первое из правил останется в силе и при нецелых n (определение гамма-функции см. ФУНКЦИЯ). Основным результатом операционного исчисления принято считать теорему о композиции, или свертке, согласно которой, если F1(p)1(x) = f1(x) и F2(p)1(x) = f2(x), то

Применяя теорему о свертке к pa при a № 0, -1, -2,..., можно определить интегрирование или дифференцирование дробного порядка. Например, рассмотрим выражение

где функция y(x) и ее первые n - 1 производных обращаются в нуль при x = 0. Пусть y(x) = Y(p)1(x), g(x) = G(p)1(x). Примем

Предположим, что f (x) = F(p)-11(x). Тогда

Стандартные правила включают в себя различные алгоритмы, связанные с разложениями на элементарные дроби рациональных функций асимптотических рядов и т.д. На практике y(x) = Y(p)1(x) часто записывают в виде y(x) ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Y(p) или.

К тем же общим результатам приводит и теория функций замкнутого цикла В. Вольтерры (1860-1940). Близкие теории были построены для других операторов, например для x(d/dx) и для более общих ситуаций с несколькими операциями, Вольтеррой, Пинкерле и др. Для прикладных математиков основное преимущество операционного исчисления Хевисайда заключается в сведении трансцендентных задач с независимой переменной x к алгебраическим задачам для функций, зависящих от p. Чаще всего метод Хевисайда применяется при решении дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, разностных уравнений и интегральных уравнений с ядром K(x, t) = K(x - t). В общем случае при распространении методов операционного исчисления на более сложные уравнения теряется характер "чистой алгебраизации". Строгое обоснование соотношения F(p)1(x) = f (x) было дано с помощью интегральных преобразований Лапласа или Фурье, или абстрактно, в терминах операторов в некоторых линейных топологических пространствах, таких, как гильбертово пространство. Такой подход позволил установить условия применимости эвристических правил.

ЛИТЕРАТУРА

Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., 1974

операцио́нное исчисле́ние

один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. В основе метода лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами), получаемыми из данных по определенным правилам, причём действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над образами.

* * *

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИО́ННОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. В основе метода лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми другими функциями (образами), получаемыми из данных по определенным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над образами.

один из методов математич. анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных операторов, псевдодифференциалъных операторов и нек-рых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраич. задач. Развитие и систематич. применение О. и. началось с работ О. Хевисайда (О. Heaviside, 1892), к-рый предложил формальные правила обращения с оператором дифференцирования и решил ряд прикладных задач. Однако О. и. не получило у него математич. обоснования: оно было дано с помощью Лапласа преобразования;Я. Микусиньский (J. Mikusinski, 1953) алгебраизировал О. и., опираясь на понятие функционального кольца; наиболее общая концепция О. и. получается с помощью обобщенных функций.

Простейший вариант О. и. строится следующим образом. Пусть К - совокупность функций (с действительными или комплексными значениями), заданных в области и абсолютно интегрируемых в любом конечном интервале. Сверткой функций наз. интеграл

Относительно обычного сложения и операции свертки Кстановится кольцом без делителей нуля (теорема Титчмарша, 1924). Элементы поля частных Рэтого кольца наз. операторами и обозначаются ; невыполнимость деления в Ккак раз и есть источник нового понятия оператора, обобщающего понятие функции. Для выявления необходимого в О. и. различия между понятиями функции и ее значения в точке введены следующие обозначения:

{f(t)} - функция f(t).

f(t) - значение t (t).в точке t.

Примеры операторов. 1) е={1} -оператор интегрирования:

при этом

и, в частности,

это - формула Коши, обобщение к-рой на случай произвольного (нецелого) показателя служит для определения дробного интегрирования.

2). (где a - функция-константа) -числовой оператор; поскольку [а] [b] = [a, b], [a] {f}={af}, в то время как {a}{b}={abt}, то числовые операторы ведут себя как обычные числа. Таким образом, оператор является обобщением не только функции, но и числа; единицей кольца Кявляется [ 1 ].

3) - оператор дифференцирования, обратный оператору интегрирования. Так, если функция a(t)--{a(t)}имеет производную a'(t), то

и

отсюда, напр.,

На оператор дифференцирования s можно умножать не только дифференцируемые функции, однако результат есть уже, вообще говоря, оператор.

4) - алгебраическая производная, она распространяется на произвольные операторы обычным способом, при этом оказывается, что действие этого оператора на функции от sсовпадают с дифференцированием по s.

О. и. дает удобные способы решения линейных дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и с частными

производными. Напр., решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям х(0).g₀,...,

автоматически приводится к алгебраич. уравнению и символически выражается формулой

решение в обычном виде получается разложением на элементарные дроби от переменной s с последующим обратным переходом по соответствующим таблицам к функциям.

Для применения О. и. к уравнениям с частными производными (а также к более общим псевдодифференциальным уравнениям) строятся дифференциальное и интегральное исчисления операторных функций, т. е. функций, значениями к-рых являются операторы: вводятся понятия непрерывности, производной, сходимости ряда, интеграла и т. <д.

Пусть f(l, t) - нек-рая функция, определенная для и .Параметрическая операторная функция f(l) определяется формулой f(l)={f(l, t)};она ставит в соответствие рассматриваемым значениям l операторы частного вида - функции от t. Операторная функция наз. непрерывной при , если она представима как произведение нек-рого оператора qи такой параметрич. функции f₁(l)={f₁(l, t)}, что f₁(l, t).непрерывна в обычном смысле.

Примеры. 1) С помощью параметрич. функции h(l)={h(l,t)}:

определяется функция Хевисайда

значения гиперболической показательной функции

наз. операторами сдвига, поскольку умножение данной функции на вызывает смещение ее графика на длину l в положительном направлении оси t.

2) Решение уравнения теплопроводности

выражается через параболическую показательную функцию (являющуюся также параметрической операторной функцией):

3) Периодич. функция f(t).с периодом 2l₀ имеет представление

4) Если f(l) принимает числовые значения в интервале [l₁, l₂], то

т. е. умножение данной функции {/} на с последующим интегрированием вызывает усечение ее графика. В частности,

таким образом, каждой функции f(t), для к-рой рассматриваемый интеграл сходится, ставится в соответствие аналитич. ция

- ее преобразование Лапласа. Благодаря этому обстоятельству довольно обширный класс операторов описывается функциями одного параметра s, более того, это формальное сходство уточняется математически установлением определенного изоморфизма.

Имеются различные обобщения О. и.; таково О. и. дифференциальных операторов, отличных от , напр. , к-рое основывается на функциональных кольцах с надлежащим образом определенным произведением.

Лит.:[1] Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному исчислению, М., 1965; [2] Микусинский Я., Операторное исчисление, пер. с польск., М., 1956.

М. И. Войцеховский.

А-ОПЕРАЦИЯ, операция А, - теоретико-множественная операция, открытая П. С. Александровым [1] (см. также [2] с. 39 и [3]). Пусть - система множеств, заиндексированных всеми конечными последовательностями натуральных чисел. Множество

где суммирование распространяется на все бесконечные последовательности натуральных чисел, наз. результатом A-O., примененной к системе

Применение A-O. к системе интервалов числовой прямой дает множества (названные А-множествами в честь П. С. Александрова), к-рые могут не быть борелевскими (см. Дескриптивная теория множеств). A-O. сильнее операции счетного объединения и счетного пересечения и является идемпотентной. Относительно А-О. инвариантны Бэра свойство (подмножеств произвольного топологич. пространства) и измеримость по Лебегу.

Лит.:[1] Александров П. С., "С. г. Acad. sci", 1916, t. 1P>2, p. 323-25; [2] его ж е, Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М., 1978; [3] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", I960, т. 21, в. 4, с. 275-78; [4] Суслин М. Я., "С. г. Acad. sci.", 1917, t. 164, p. 88-91; 15] Лузин Н. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1958, с. 284; [6] Куратовский К., Топология, пер. [с англ.], т. 1, М., 1966. А. <Г. <Ельцин.

ds-ОПЕРАЦИЯ - теоретико-множественная операция, результат применения к-рой к последовательности (E_n) множеств может быть записан в виде

где N - система множеств положительных целых чисел, наз. базой ds=0. См. Дескриптивная теория множеств.

Лит.:[1] К о л м о г о р о в А. Н., "Матем. сб.", 1928, т. 35, №3-4, с. 415-22; [2] X а у с д о р ф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.- Д., 1937; [3] Александров П. С., Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М., 1978, с. 35-40, 53-58; [4] О ч а н Ю. С., "Успехи матем. наук", 1955, т. 10, в. 3, с. 71 - 128; [5] Колмогоров А. Н., там же, 1966, т. 21, в. 4, с. 275-78. А. Г. Елькип.