«Первообразный корень»

по модулю m, такое число g, что положительное наименьшее число k, для которого разность g^k — 1 делится на m(g^k сравнимо с 1 по модулю m), совпадает c φ(m), где φ(m) — число натуральных чисел, меньших mи взаимно простых с m. Например, при m = 7 П. к. по модулю 7 является число 3. Действительно φ(7) = 6; числа 3¹ —1 = 2, 3² — 1 = 8, 3³— 1 = 26, 3⁴ — 1 = 80, 3⁵ — 1 = 242 не делятся на 7, лишь 3⁶ — 1= 728 делится на 7. П. к. существуют, когда m = 2, m = 4, m = р^α, m = 2p^α (где р — простое нечётное число, α — целое ≥1), а для других модулей их нет. Число П. к. в этих случаях равно φ[φ(m)] (числа, разность которых кратна m, не считаются за различные). И. М. Виноградов в 1926 установил, что в интервале (1, 2^2k) найдётся П. к. по модулю р, где р — простое нечётное число, k — число различных простых делителей числа р —1. См. также Чисел теория, Индексы в теории чисел.

Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Избр. труды. М., 1952, с. 54—57.

primitive root

1) П. к., примитивный корень, из единицы в поле Кстепени т - элемент ноля К такой, что и для любого натурального r<m. Элемент порождает циклич. группу корней из единицы порядка т.

Если в поле Ксуществует П. к. степени т, то твзаимно просто с характеристикой поля К. Алгебраически замкнутое поле содержит П. к. любой степени взаимно простой с характеристикой поля. Если - П. к. степени п. то для любого kвзаимно простого с пэлемент также является П. к. Число всех П. к. степени m равно значению функции Эйлера .

В поле комплексных чисел П. к. степени m имеют вид

где 0<k<m и kвзаимно просто с т.

2) П. к. по модулю т - целое число gтакое, что

и

при , где - функция Эйлера. Для П. к. gего степени несравнимы между собой по модулю ти образуют приведенную систему вычетов по модулю т. Таким образом, для каждого числа а, взаимно простого с т, найдется показатель , для к-рого .

П. к. существуют не для всех модулей, а только для модулей твида где р>2 - простое число. В этих случаях мультипликативные группы приведенных классов вычетов по модулю тустроены наиболее просто: они являются циклич. группами порядка j(m). С понятием П. к. по модулю m тесно связано понятие индекса числа по модулю т.

П. к. для простых модулей рбыли введены Л. Эйлером (L. Euler), но существование П. к. для любых простых модулей рбыло доказано лишь К. Гауссом (С. Gauss, 1801).

Лит.:Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Гауcc К. Ф., Труды по теории чисел, пер. с лат. и нем., М., 1959; [3] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 Изд., М., 1972. Л. В. Кузьмин, С. А. Степанов.

radice primitiva

пе́рві́сний ко́рінь

пе́рві́сний ко́рінь