«Ортогональность»

слово, употребляемое в геометрии вместо слова прямоугольность, в особенности в тех случаях, когда дело идет о взаимной перпендикулярности прямых касательных к кривым линиям или плоскостей касательных к поверхностям. Если касательные, проведенные к двум кривым в точке их пересечения, взаимно перпендикулярны, то говорят, что кривые ортогональны одна к другой.

(греч. orthogōnios — прямоугольный, от orthós — прямой и gōnía — угол)

обобщение (часто синоним) понятия перпендикулярности (См. Перпендикулярность). Если два вектора в трёхмерном пространстве перпендикулярны, то их Скалярное произведение равно нулю. Это позволяет обобщить понятие перпендикулярности, распространив его на векторы в любом линейном пространстве, в котором определено скалярное произведение, обладающее обычными свойствами (см. Гильбертово пространство), назвав два вектора ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. В частности, вводя скалярное произведение в пространстве комплекснозначных функций, заданных на отрезке [а, b] формулой

где ρ(х) ≥ 0, называют две функции f(x) и φ(x), для которых (f, φ)_ρ = 0, то есть

ортогональными с весом ρ(х). Два линейных подпространства называется ортогональными, если каждый вектор одного из них ортогонален каждому вектору другого. Это понятие обобщает понятие перпендикулярности двух прямых или прямой и плоскости в трёхмерном пространстве (но не понятие перпендикулярности двух плоскостей). Термином ортогональные кривые обозначают кривые линии, пересекающиеся под прямым углом (измеряется угол между касательными в точке пересечения). См., например, ортогональные траектории в ст. Изогональные траектории.

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ (от греч. orthogonios - прямоугольный) - обобщение понятия перпендикулярности, распространенное на различные математические объекты. Напр., два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

мат. orthogonal property, orthogonalityorthogonality

orthogonality

f.orthogonality

ортогона́льность

(от греч. orthogōnios — прямоугольный), обобщение понятия перпендикулярности, распространённое на различные математические объекты. Например, два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

* * *

ОРТОГОНА́ЛЬНОСТЬ (от греч. orthogonios — прямоугольный), обобщение понятия перпендикулярности, распространенное на различные математические объекты. Напр., два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

- обобщение понятия перпендикулярности векторов евклидова пространства. Наиболее естественное понятие О. введено в теории гильбертовых пространств. Два элемента хи уиз гильбертова пространства Нназ. ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю (( х, у).0). Это понятие О. в том частном случае, когда H - евклидово пространство, совпадает с понятием перпендикулярности двух векторов. В терминах этого понятия в любом гильбертовом пространстве верна теорема Пифагора: если элемент равен конечной или счетной сумме попарно ортогональных элементов (счетная сумма понимается в смысле сходимости ряда в метрике пространства Н), то (см. Парсеваля равенство).

Полная счетная система {x_i} ортонормировапных векторов сепарабельного гильбертова пространства представляет аналог полной системы попарно ортогональных векторов конечномерного евклидова пространства: любой элемент единственным образом представляется в виде суммы , причем с _ix_i=( х, x_i)x_i - проекция элемента хна х _i.

В случае функционального пространства L²[a, b]такую роль играют полные ортонормированные системы функций : если , то

в метрике пространства L²[a, b], где

В случае, когда j_k(x) - ограниченные функции, коэффициенты c_k можно определить для любой интегрируемой функции. При этом представляет интерес вопрос о сходимости соответствующего разложения в том или ином смысле (см. Тригонометрическая система, Хаара система). Поэтому для функций термин "О." употребляется в более широком смысле: интегрируемые на отрезке [a, b]функции f(x).и g(x).наз. ортогональными, если

(для существования интеграла обычно требуется, чтобы

- множество ограниченных функций).

Существуют также определения О. элементов произвольного действительного нормированного пространства. Одно из них (см. [4]) следующее: элемент хдействительного нормированного пространства Всчитается ортогональным элементу у, если для любого действительного k. В терминах этого понятия установлены нек-рые необходимые и достаточные условия, при к-рых может быть определено скалярное (внутреннее) произведение элементов пространства В(см. [5], [6]).

Лит.: [1]Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [2] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1902; [3] Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [4] Вirkhоff G., "Duke Math. J.", 1935, v. l,p. 169-72; [5] James R., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 61, p. 265-92; [6] его же, "Bull. Amer. Math. Soc.", 1947, v. 53, p. 559-66. А. А. Талалян.

orthogonality

* * *

orthogonality

* * *

orthogonality

ж. матем.

ortogonalità f

матем., физ.

ортогона́льність, -ності

- обобщённая ортогональность

матем., физ.

ортогона́льність, -ності

- обобщённая ортогональность

(от греч. orthogоnios-прямоугольный), обобщение понятия перпендикулярности, распространённое на разл. матем. объекты. Напр., два вектора наз. ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.