Большая Советская энциклопедия

    дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

    П. р. дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом (См. Последовательных приближении метод), Ритца и Галёркина методами (См. Ритца и Галёркина методы), Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения П. р. останавливаются на некотором шаге процесса.

    Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за П. р. принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f(x, у), удовлетворяющее начальным условиям у(х0)=y0, причём известно, что f(x, у)— аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0, y0). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:

    y(x)- y(x0)=

    Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо по формулам:

    A1=y’0=f(x0, y0);

    либо с помощью неопределенных коэффициентов метода (См. Неопределённых коэффициентов метод). Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х0.

    Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.

    К численным методам относятся методы, позволяющие находить П. р. при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.

    Поясним эти методы на примере уравнения

    y’=f(x, у)

    с начальным условием у(х0)= y0. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х0 в виде ряда по степеням h=хх0 Основной характеристикой точности формул П. р. дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h П. р. совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.

    Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у(х) в точках x1, x2,..., xn некоторого фиксированного отрезка [х0, b] Так, для того чтобы вычислить у(х1), где х1 = х0 + h, h=(b — x0)/n,представляют у(х1) в виде конечного числа членов ряда по степеням h =х1х0. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у(xk) формулы:

    Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h2.

    В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f(x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:

    где

    дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h5.

    В разностных формулах П. р. удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у(xi), ηiи разностей Δiηj, где

    ηj = hf (xj, yj); Δηj = ηj+1 - ηj;

    Δiηj = Δi-1ηj+1 - Δi-1ηj.

    Примером разностной формулы П. р. является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:

    даёт решение у(х) в точке xk с точностью до величин порядка h4.

    Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    | Формула   = 2    = 3    = 4          |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | (1 + x)3  1 + 3x | 0,04      | 0,012    | 0,004  |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,06      | 0,022    | 0,007  |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,19      | 0,062    | 0,020  |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,20      | 0,065    | 0,021  |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,31 (17°48')  | 0,144 (8°15')  | 0,067 (3°50')       |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,10 (5°43')    | 0,031 (l'48')    | 0,010 (0°34')       |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,25 (14°8')    | 0,112 (6°25')  | 0,053 (3°2')  |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,14      | 0,47      | 0,015  |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,04      | 0,014    | 0,004  |

    |--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | | 0,25      | 0,119    | 0,055  |

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

    особенно удобную для решения уравнений вида у "=f(x, у). По этой формуле находят Δ2yn-1, а затем yn+1 = ynyn+1 + Δ2yn-1. Найдя yn+1, вычисляют y’’n+1=f(xn+1, yn+1), находят разности и повторяют процесс далее.

    Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.

    Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

    Кроме аналитических и численных методов, для П. р. дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

    Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  2. Большой англо-русский и русско-английский словарь

    approximate solution

  3. Источник: Большой англо-русский и русско-английский словарь



  4. Русско-английский политехнический словарь

    approximate solution

  5. Источник: Русско-английский политехнический словарь



  6. Dictionnaire technique russo-italien

    soluzione approssimata

  7. Источник: Dictionnaire technique russo-italien



  8. Русско-украинский политехнический словарь

    набли́жений ро́зв'язок

  9. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  10. Русско-украинский политехнический словарь

    набли́жений ро́зв'язок

  11. Источник: Русско-украинский политехнический словарь