«Однородная функция»

функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая следующему условию: при одновременном умножении всех аргументов функции на один и тот же (произвольный) множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, т. е. для О. ф. f (x, y,..., u) при всех значениях х, у,..., u и любом λ должно иметь место равенство:

f(λx, λу,..., λu) = λⁿf (х, y,..., u),

где n — некоторый определённый показатель («показатель однородности», или «измерение О. ф.»). Например, функции

х²— 2у²;(x— y—3z)/z²+xyz²;

суть однородные с измерениями, соответственно, 2, —1, ⁴/₃. Из дифференциальных свойств О. ф. отметим одно (теорема Эйлера), вполне характеризующее О. ф. измерения n, а именно: если в выражении полного дифференциала f(x, у,..., u) заменить дифференциал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают функцию f(x, у,..., u), умноженную на показатель однородности:

.

О. ф. часто встречаются в геометрических формулах. В соотношении х =f(а, b,..., l), где а, b,..., l — длины отрезков, измеренные одним и тем же произвольным масштабом, правая часть должна быть О. ф. (измерения 1, 2 или 3, смотря по тому, означает ли х длину, площадь или объём). Например, в формуле для объёма

усечённого конуса правая часть — О.ф. h, R и r измерения 3.

unate function

homogeneous function

степени - числовая функция такая, что для всех точек из области ее определения и всех действительных t> 0 выполняется равенство

где - действительное число; при этом предполагается, что вместе с каждой точкой из области определения функции f при любом t>0 к этой области определения принадлежит и точка

Если функция т. е. является многочленом степени не выше чем т, то она будет О. ф. степени тв том и только в том случае, когда все коэффициенты при равны нулю. Понятие О. ф. может быть расширено на многочлены от ппеременных над любым коммутативным кольцом с единицей.

Пусть область определения Ефункции f лежит в первом квадранте:и вместе с любой точкой содержит и весь луч . Для того чтобы функция f была однородной степени , необходимо и достаточно, чтобы существовала такая функция от переменных, определенная на множестве точек вида где что для всех выполняется равенство

Если область определения Ефункции f открытое множество и функция f непрерывно дифференцируема на Е, то функция является О. ф. степени в том и только в том случае, когда она при всех из ее области определения удовлетворяет равенству (формула Эйлера)

Л. Д. Кудрявцев

homogeneous function

funzione omogenea