«Инварианты»

особое обозначение в математике. Если над целым однородным алгебраическим выражением с двумя переменными x₁и х₂совершено линейное преобразование, т. е. если вместо х₁поставлено α₁x₁+ α₂x₂, a вместо x₂поставлено β₁x₁+ β₂x₂, то получается новое выражение, которое останется однородным. Оба выражения назыв. алгебраическими формами, и второе есть форма преобразованная относительно первого. Выражение, однородное относительно коэффициентов основной формы, называется И. в том случае, если при замене коэффициентов основной формы соответствующими коэффициентами формы преобразованной выражение изменится лишь на множитель, который равен какой-нибудь степени модуля преобразования α₁β₂— α₂β₁. Учение об И. вследствие частого приложения к различным математическим исследованиям получило большое развитие и в настоящее время составляет самостоятельную отрасль чистой математики. Первоначально теория И. имела приложение только при исследовании свойств чисел, но по мере своего развития эта теория получила большое значение в новейшей геометрии и представляет важное орудие также при исследовании теории уравнений. Теория И. создана трудами главным образом английских математиков Келэ и Сильвестра; из математиков континента ей занимались Аронгольд, Клебш, Эрмит и др. — Символическое обозначение И. введено Клебшем. Если имеется квадратичная форма α₀x₁²+ 2α₁x₁x₂+ α₂x₂², то И ее будет α₁²— α₀α₂и означается через (ab)²или

В. В. В.

(от лат. invarians, родительный падеж invariantis — неизменяющийся)

числа, алгебраические выражения и т. п., связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект. Чтобы охарактеризовать какую-либо геометрическую фигуру и её положение с помощью чисел, обычно приходится вводить некоторую вспомогательную систему отсчёта или систему координат. Полученные в такой системе числа x₁, x₂,..., x_n характеризуют не только изучаемую геометрическую фигуру, но и её отношение к системе отсчёта, и при изменении этой системы фигуре будут отвечать другие числа x'₁, х'₂,..., х'_n. Поэтому если значение какого-либо выражения f (x₁,x₂,..., x_n) характерно для фигуры самой по себе, то оно не должно зависеть от системы отсчёта, т. е. должно выполняться соотношение

f (x₁, x₂,..., x_n) = f (x'₁, x'₂,..., x'_n). (1)

Все выражения, удовлетворяющие соотношению (1), называются инвариантами. Например, положение отрезка M₁M₂ на плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя парами чисел x₁, y₁ и x₂, y₂ — координатами его концов M₁ и M₂. При преобразовании координатной системы (путём смещения её начала и поворота осей) точки M₁ и M₂ получают другие координаты x'₁,у'₁ и x'₂,у'₂, однако (x₁ — x₂)² + (y₁ — y₂)² = (x'₁ — x'₂)² + (y'₁ — у'₂)². Поэтому выражение (x₁ — x₂)² + (y₁ — — y₂)² является И. преобразования прямоугольных координат. Геометрический смысл этого И. ясен: это квадрат длины отрезка M₁M₂.

Кривая 2-го порядка в прямоугольной системе координат задаётся уравнением 2-й степени

ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f = 0, (2)

коэффициенты которого можно рассматривать как числа, определяющие кривую. При преобразовании прямоугольных координат эти коэффициенты изменяются, но выражение

Понятие И. употреблялось ещё немецким математиком О. Гессе (1844), но систематическое развитие теория И. получила у английского математика Дж. Сильвестра (1851—52), предложившего и термин «И.». В течение 2-й половины 19 в. теория И. была одной из наиболее разрабатываемых математических теорий. В процессе развития этой классической теории И. главные усилия исследователей стали постепенно сосредоточиваться вокруг решения нескольких «основных» проблем, наиболее известная из которых формулировалась следующим образом. Рассматриваются И. системы форм, являющиеся целыми рациональными функциями от коэффициентов этих форм. Требуется доказать, что для И. каждой конечной системы форм существует конечный базис, т. е. конечная система целых рациональных И., через которые каждый другой целый рациональный И. выражается в виде целой рациональной функции. Это доказательство для проективных И. было дано в конце 19 в. немецким математиком Д. Гильбертом.

Весьма плодотворный подход к понятию И. получается, если системы чисел x₁, x₂,..., x_n и x'₁, х'₂,..., х'_n рассматривать не как координаты одной и той же точки относительно различных координатных систем, а как координаты различных точек в одной и той же системе координат, полученных одна из другой движением. Движения пространства образуют группу (См. Группа). И. относительно изменений систем координат являются также И. относительно группы движений. Отсюда путём непосредственного обобщения получается понятие И. любой группы преобразований. Теория таких И. оказывается весьма тесно связанной с теорией групп и в особенности с теорией представлений групп.

Понятие И. группы преобразований лежит в основе известной систематизации геометрических дисциплин по группам преобразований, И. которых изучаются в этих дисциплинах. Например, И. группы ортогональных преобразований изучаются в обычной евклидовой геометрии, И. аффинных преобразований — в аффинной, И. проективных — в проективной. Весьма общую группу преобразований составляют все взаимно однозначные и непрерывные преобразования. Изучение И. этих так называемых топологических преобразований составляет предмет топологии (См. Топология). В дифференциальной геометрии основное значение имеют дифференциальные И., развитие теории которых привело к созданию тензорного исчисления (См. Тензорное исчисление).

В 20 в. глубокое влияние на развитие теории И., в частности на развитие тензорного исчисления, оказала теория относительности, в которой инвариантность физических законов относительно группы движений становится одним из руководящих принципов. См. также Инвариантность.

Лит.: Погорелов А. В.. Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968; Широков П. А., Тензорный анализ, ч. 1, М.—Л., 1934; Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М.—Л., 1948; Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947.