«Пелля уравнение»

уравнение вида x² — Dy² =1 (D— целое положительное число), у которого разыскиваются решения в целых числах. Если D не является полным квадратом, то уравнение имеет бесконечное количество решений. Решение x₀= 1, y₀=0 очевидно. Следующее по величине решение (x₁, y₁) П. у. можно найти, пользуясь разложением в непрерывную дробь (См. Непрерывная дробь) числа x₁, y₁), всю совокупность решений (x_n, y_n) П. у. получают из формулы:

(x₁+y₁ⁿ =x_n+y_n

n= 0, 1, 2,...

Изучение П. у. тесно связано с теорией алгебраических чисел (См. Алгебраическое число). П. у. названо по имени английского математика Дж. Пелля (J. Pell; 17 в.), которому Л. Эйлер по ошибке приписал один из способов решения этого уравнения. См. также Диофантовы уравнения.

Лит.: Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.— Л., 1937, гл. 2; Dickson L. E., History of the theory of numbers, v. 2, N. Y., 1966.

- диофантово уравнение вида

(1)

а также более общее уравнение

(2)

где - натуральное, - иррациональное число, с - целое, неизвестные хи у - целые числа.

Если P_s/Q_s, s=0,1,2,...,- подходящие дроби разложения в цепную дробь с периодом k, то положительные решения уравнения (1) имеют вид

где п - любое натуральное число такое, что kn четно. Все решения уравнения (1) получаются из формулы

где п - любое целое, а ( х ₀, у ₀).решение с наименьшими положительными значениями неизвестных. Общее уравнение (2) либо совсем не имеет решений, либо - бесконечно много. При с=-1 решения существуют тогда и только тогда, когда kнечетпо. При с=4 уравнение (2) всегда имеет решения. С помощью решений П. у. при находятся единицы квадратичного поля . Решения П. у. используются при нахождении автоморфизмов бинарных квадратичных форм ; они позволяют по одному решению диофантова уравнения получить бесконечное множество решений.

Уравнение (1) изучалось У. Броункером (W. Brouncker, 1657), П. Ферма (P. Fermat) и Дж. Валлисом (J. Wallis). Л. Эйлер (L. Euler) по недоразумению связал его с именем Дж. Пелля (J. Pell).

Лит.:[1] Вальфиш А. 3., Уравнение Пелля, Тб., 1952; [2] Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 3 изд., М., 1978; [3]. L e Veque W. J., Topics in number theory, L., 1961. А. А. Бухштаб.