«Операторы»

в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики (См. Квантовая механика) и квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля) и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) ψ др. определённых векторов (функций) ψ'. Соотношение между ψ и ψ' записывается в виде ψ'= L̂ψ, где L̂— оператор. В квантовой механике физическим величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставятся в соответствие О. L̂ (О. координаты, О. импульса и т.д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) ψ, т. е. на величину, описывающую состояние физической системы.

Простейшие виды О., действующих на волновую функцию ψ(х) (где х— координата частицы), — О. умножения (например, О. координаты x̂,x̂ψ = хψ) и о. дифференцирования (например, О. импульса p̂, p̂ψ =, где i— мнимая единица, ħ — постоянная Планка). Если ψ — вектор, компоненты которого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу — матрицу (См. Матрица).

В квантовой механике в основном используются линейные операторы (См. Линейный оператор). Это означает, что они обладают следующим свойством: если L̂ψ₁= ψ'₁ и L̂ψ₂=ψ'₂, то L̂(c₁ψ₁ + c₂ψ₂) = c₁ψ'₁ + c₂ψ'₂, где c₁ и с₂— комплексные числа. Это свойство отражает Суперпозиции принцип—один из основных принципов квантовой механики.

Существенные свойства О. L̂ определяются уравнением L̂ψ_n= λ_nψ_n, где λ_n — число. Решения этого уравнения ψ_n называется собственными функциями (собственными векторами) оператора L̂. Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L имеет определённое значение λ_n. Числа λ_n называется собственными значениями О. L̂, а их совокупность — спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее ψ _n, имеет решение при любом значении λ_n (в определённой области), во втором — решения существуют только при определённых дискретных значениях λ_n. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Например, О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил — непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются энергетическими уровнями.

Собственные функции и собственные значения О. физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии ψ должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) ψ_n О. этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т.н. самосопряжённых О., или эрмитовых операторов (См. Эрмитов оператор).

С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. L̂₁ и L̂₂ понимается такой О. L̂=L̂₁L̂₂, действие которого на вектор (функцию) ψ даёт L̂ψ = ψ’’, если L̂₂ψ = ψ’ и L̂₁ψ’= ψ’’.Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е.L̂₁L̂₂≠L̂₂L̂₁. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью одновременного измерения физических величин, которым отвечают эти О. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин является равенство L̂₁L̂₂=L̂₂L̂₁ (см. Перестановочные соотношения).

Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классической механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физические величины, входящие в уравнения классической механики, соответствующими им О. Всё различие между квантовой и классической механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда называют q-числами, в отличие от с-чисел, т. е. обыкновенных чисел, с которыми имеет дело классическая механика.

О. можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом которых являются унитарные операторы (См. Унитарный оператор). Унитарные О. не меняют норм («длин») векторов и «углов» между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается развитие квантовомеханической системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классической механике играют канонические преобразования (см. Механики уравнения канонические).

В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. называются антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени (См. Обращение времени) и некоторые др.

В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод квантования вторичного (См. Квантование вторичное), в котором рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом частиц и вводятся О., действие которых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (О. рождения и поглощения частиц). О. рождения или поглощения частицы в данной точке х,(х) формально подобен волновой функции ψ(х), как q- и с-числа, отвечающие одной и той же физической величине соответственно в квантовой и классической механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц; см. Квантовая теория поля).

Лит. см. при статьях Квантовая механика,Квантовая теория поля.

В. Б. Берестецкий.

operations staff

ОПЕРАТОРЫ

в квантовой теории, понятие, широко используемое в матем. аппарате квант. механики и квант. теории поля. О. служат для сопоставления с определ. волновой функцией (или вектором состояния) y другой определ. ф-ции (вектора) y'. Соотношение между y и y' записывается в виде y' =L^y, где L ^— О. В квант. механике физ. величинам L (координате, импульсу, энергии и др.) ставятся в соответствие О. L (оператор координаты, импульса и т. д.), действующие на y. Простейшие виды О., действующие на волн. ф-цию y(х) (где х — координата ч-цы),— О. умножения (напр., О. координаты х^, x^y=xy) и О. дифференцирования (напр., О. р^х проекции импульса на ось х, рх^y=-iћдy/дx). Если y — вектор, компоненты к-рого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу — матрицу.

В квант. механике в осн. используются линейные О., к-рые обладают след. св-вом: если L^y1=y'1 и L^y2=y'2, то

L^(с1y1+с2y2)=c1y'1+c2y'2,

где c1 и с2 — комплексные числа.

Св-ва О. L^ определяются ур-нием L^yn=lnyn, где ln — числа. Решения этого ур-ния yn наз. собственными функциями (собств. векторами) О.?. Собств. волн. ф-ции (собств. векторы состояния) описывают в квант. механике такие состояния, в к-рых физ. величина L (соответствующая О.?) имеет определ. значение ln. Числа ln наз. собственными значениями О. L^, а их совокупность — спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае ур-ние, определяющее yn, имеет решение при любом значении ln (в определ. области), во втором — решения существуют только при определ. дискр. значениях ln. Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Напр., О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от хар-ра действующих в системе сил — непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискр. собств. значения О. энергии наз. уровнями энергии.

Собств. ф-ции и собств. значения О. физ. величин должны удовлетворять определ. требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физ. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Поскольку при измерении физ. величины в любом состоянии y должно получаться одно из возможных собств. значений О. этой величины, необходимо, чтобы произвольная волн. ф-ция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. ф-ций (векторов) yn О. этой физ. величины; другими словами, совокупность собств. ф-ций (векторов) должна представлять полную систему. Этими св-вами обладают собств. ф-ции и собств. значения т. н. самосопряжённых, или эрмитовых, О.

С О. можно производить алгебр. действия. В частности, под произведением О. L^1 и L^2 понимается такой О. L^=L^1L^2, действие к-рого на y даёт L^y=y"', если L^2y=y' и L^1y'=y". Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е. L^1L^2?L^2L^1. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью физ. системы находиться в состоянии, в к-ром соответствующие О. физ. величины имеют точно определ. Значения (или с возможностью одноврем. измерения физ. величин, к-рым отвечают эти О.). Необходимым и достаточным условием одноврем. измеримости физ. величин L1 и L2 явл. равенство L^1L^2= L^2L^1 (см. ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ).

Ур-ния квант. механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и ур-ния классич. механики (гейзенберговское представление в квант. механике), если заменить физ. величины, входящие в ур-ния классич. механики, соответствующими им О. Различие между квант. и классич. механикой сведётся тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квант. механике иногда наз. q-числами, в отличие от c-чисел, т. е. обыкновенных чисел, с к-рыми имеет дело классич. механика.

О. можно также возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать ф-ции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не явл. эрмитовым. В квант. механике используются и неэрмитовы О., важным классом к-рых явл. унитарные О., не меняющие норм («длин») векторов и «углов» между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности и исходной и преобразованной ф-ции. Поэтому действием унитарного О. описывается изменение квантовомеханич. системы с течением времени, а также её смещение как целого в пр-ве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квант. механике такую же роль, какую в классич. механике играют канонич. преобразования (см. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ).

В квант. механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. наз. антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и некоторые др.

В теории квант. систем, состоящих из тождеств. ч-ц, широко применяется метод вторичного квантования. В нём рассматриваются состояния с перем. числом частиц и вводятся О., действие к-рых на вектор состояния с данным числом ч-ц приводит к вектору состояния с изменённым на единицу числом ч-ц (О. рождения и уничтожения ч-ц). О. рождения или уничтожения ч-цы в данной точке х, y^(x), формально подобен волн. ф-ции y(x), как q- и с-числа, отвечающие одной и той же физ. величине соответственно в квант. и классич. механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундам. роль в релятив. квант. теориях (квант. электродинамике, теории элем. ч-ц).