«Многогранник»

Многогранник в словарях и энциклопедиях

Значение слова «Многогранник»

Источники

  1. Словарь Брокгауза и Ефрона
  2. Большая Советская энциклопедия
  3. Словарь форм слова
  4. Толковый словарь Ожегова
  5. Малый академический словарь
  6. Толковый словарь Ушакова
  7. Толковый словарь Ефремовой
  8. Большой энциклопедический словарь
  9. Большой англо-русский и русско-английский словарь
  10. Англо-русский словарь технических терминов
  11. Русско-английский словарь математических терминов
  12. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  13. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  14. Большой французско-русский и русско-французский словарь
  15. Большой испано-русский и русско-испанский словарь
  16. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  17. Энциклопедия Кольера
  18. Энциклопедический словарь
  19. Математическая энциклопедия
  20. Большой энциклопедический политехнический словарь
  21. Большая политехническая энциклопедия
  22. Русско-английский политехнический словарь
  23. Dictionnaire technique russo-italien
  24. Русско-украинский политехнический словарь
  25. Русско-украинский политехнический словарь
  26. Естествознание. Энциклопедический словарь
  27. Орфографический словарь-справочник
  28. Тезаурус русской деловой лексики
  29. Большой Энциклопедический словарь

    Словарь Брокгауза и Ефрона

    см. Тела геометрические.

  1. Источник: Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона



  2. Большая Советская энциклопедия

    в трёхмерном пространстве, совокупность конечного числа плоских многоугольников, такая, что каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, — к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами М.

    Приведённое определение М. получает различный смысл в зависимости от того, как определить Многоугольник. Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению М. (вопросы, связанные с определяемыми таким образом М., будут рассмотрены в конце статьи). Основная часть статьи построена на основе второго определения М., при котором его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется М.; отсюда возникает третья точка зрения на М. как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.

    М. называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый М. разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М. — выпуклый.

    Важнейшие теоремы общей теории выпуклых М. (рассматриваемых как по верхности) следующие.

    Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого М. — эйлерова характеристика М. — равно двум; символически: вр + г = 2.

    Теорема Коши (1812) (в современной форме): если два выпуклых М. изометричны друг другу (т. е. один М. может быть взаимно однозначно отображён на другой М. с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй М. может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого М. жестки, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по ребрам шарнирно. Это предполагал верным ещё Евклид и знает всякий, клеивший картонные модели М., но доказал Коши только через 2000 лет после Евклида.

    Теорема А. Д. Александрова (1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какую сторону какого из них с какой стороной какого другого мы будем склеивать (склеиваемые стороны, конечно, должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) М., то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого М., необходимо и достаточно, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера в — р + г = 2 и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°. Эта теорема есть теорема существования, т. е. она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые М., а теорема Коши есть для неё теорема единственности, т. е. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый М. с такой развёрткой.

    Теорема (существования) Минковского (1896): существует выпуклый М. с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.

    Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый М. вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; и углубляющая её теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых М. с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.

    Теорема Штейница (1917): существует выпуклый М. с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого М. называют сетку, составленную его ребрами. Два М. принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого М. можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань спроектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер М. при таком проектировании не меняется. Число m типов М. с данным числом n граней ограничено, а именно: если n = 4, 5, 6, 7, 8, ..., то m = 1, 2, 7, 34, 257,... На рис. даны сетки всех типов для n = 4, 5, 6.

    Наиболее важны следующие специальные выпуклые М.

    Правильные многогранники (тела Платона) — такие выпуклые М., все грани которых суть конгруэнтные правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного М. правильные и равные. Как это следует уже из подсчёта суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных М. не больше пяти. Указанным ниже путём можно доказать, что существуют именно пять правильных М. (это доказал Евклид). Они — правильные Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Додекаэдр и Икосаэдр .

    Куб и октаэдр дуальны, т. е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого или обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные М.

    В приведённой ниже таблице указаны радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы и объём всех правильных М. (а — длина ребра М.).

    Изоэдры и изогоны. Изоэдром (изогоном) называется такой выпуклый М., что группа его поворотов (первого и второго, т. е. с отражениями, родов) вокруг центра тяжести переводит любую его грань (вершину) в любую другую его грань (вершину). Каждому изоэдру (изогону) соответствует дуальный изогон (изоэдр). Если М. одновременно и изогон и изоэдр, то он правильный М. Комбинаторно различных изоэдров (изогонов) имеется 13 специальных типов и две бесконечные серии (призмы и антипризмы). Оказывается, что каждый из этих изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так М. называются полуправильными многогранниками (телами Архимеда).

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    | Радиус описанной сферы    | Радиус вписанной сферы     | Объём   |

    |---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | Тетраэдр      |

    |---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | Куб     |

    |    |     |      |

    |---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | Октаэдр            |

    |    |      |

    |---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | Додекаэдр     |

    |---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

    | Икосаэдр     |

    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Параллелоэдры (выпуклые; найдены рус. учёным Е. С. Федоровым в 1881) — М., рассматриваемые как тела, параллельным перенесением которых можно заполнить всё бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовать разбиение пространства. Таковы, например, куб или правильная 6-угольная призма. Топологически различных сеток рёбер параллелоэдров пять. Число их граней — 6, 8, 12, 12, 14. Для того чтобы М. был параллелоэдром, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым М. одного из пяти указанных топологических типов и чтобы все грани его имели центры симметрии.

    Если параллелоэдры разбиения смежны целыми гранями, разбиение называется нормальным. Центры параллелоэдров такого разбиения образуют решётку, т. е. совокупность всех точек с целыми координатами относительно какой-то, вообще говоря, не прямоугольной декартовой системы координат. Множество точек пространства, из которых каждая отстоит от некоторой данной точки О рассматриваемой решётки Λ не дальше, чем от всякой другой точки этой решётки, называется областью Дирихле (или областью Вороного) DoΛ точки О в решётке Λ. Область DoΛ является выпуклым М. с центром в точке О. Совокупность областей Дирихле всех точек произвольной решётки образует нормальное разбиение пространства. Существует замечательная теорема: произвольное (даже n-мерное) нормальное разбиение на параллелоэдры, в каждой из вершин которого сходится n + 1 параллелоэдр, может быть аффинным преобразованием превращено в разбиение Дирихле для некоторой решётки.

    Всякое движение, переводящее в себя решётку Λ и оставляющее на месте её точку О, преобразует в себя область DoΛ и обратно. Группу всех таких движений называют голоэдрией решётки. Их всего семь: кубическая, ромбоэдрическая, квадратная (или тетрагональная), ортогональная (или ромбическая), моноклинная, триклинная и гексагональная.

    Кристаллографические многогранники. Каждая из семи рассмотренных групп имеет подгруппы, всех различных таких групп и их подгрупп 32; их называют кристаллографическими классами. Пусть какой-нибудь кристаллографический класс есть подгруппа некоторой голоэдрии, тогда говорят, что он принадлежит этой голоэдрии (или входит в состав её сингонии), если этот класс не является подгруппой никакой голоэдрии, содержащейся в данной. Если взять плоскость, не проходящую через точку О, и подвергнуть её всем поворотам какого-нибудь кристаллографического класса, то полученные плоскости ограничивают либо некоторый изоэдр с центром в точке, либо бесконечное выпуклое призматическое тело, либо многогранный угол. Полученные тела называются простыми формами кристаллов, в первом случае замкнутыми, во втором и третьем — открытыми. Две простые формы считают одинаковыми, если они имеют один и тот же комбинаторный тип, порождены одним и тем же кристаллографическим классом и повороты этого класса одинаковым образом связаны с формой. Существует 30 различных в этом смысле замкнутых форм и 17 открытых, каждая из них имеет вполне определённое название (см. Кристаллы).

    Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать ещё четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных М. дал французский математик О. Коши в 1811. В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.

    Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого М. (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого М. называют просто сумму площадей его граней (об определении площади самопересекающегося многоугольника см. Многоугольник). Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней М. разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней М., которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска М. (она не зависит от выбора внешней точки О); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом М.

    Можно рассматривать и n-мерные М. Некоторые из указанных определений и теорем имеют n-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные М.; при n = 4 их оказалось 6, а при всех больших n всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, например, неизвестны все четырёхмерные изоэдры и изогоны.

    Примеры нерешенных задач теории многогранников.

    1) Немецкий математик Э. Штейниц дал примеры того, что не для всякого топологического типа сетки рёбер выпуклого М. существует М., который можно описать вокруг шара; в общем виде задача не решена.

    2) Параллелоэдры суть выпуклые основные области групп параллельных переносов, но до сих пор не определены основные типы стереоэдров, т. е. выпуклых основных областей произвольных (федоровских) дискретных групп движений. 3) Определение всех типов четырёхмерных изоэдров.

    Лит.: Фёдоров Е. С., Начала учения о фигурах, СПБ, 1885; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. — Л., 1950; Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952; Brückner М., Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900; Steinitz E., Vorlesungen liber die Theorie der Polyeder unter Einschiuss der Elemente der Topologie..., B., 1934; Coxeter H. S. М., Regular polytopes, 2 ed., L. — N. Y., 1963.

    Б. Н. Делоне.

    Выпуклые параллелоэдры (тела Фёдорова).

    Правильные невыпуклые многогранники (тела Пуансо).

    Правильные выпуклые многогранники (тела Платона).

    Полуправильные многогранники (тела Архимеда).

    Полуправильные многогранники (тела Архимеда).

    Рис. к ст. Многогранник.

  3. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  4. Словарь форм слова

    1. многогра́нник;
    2. многогра́нники;
    3. многогра́нника;
    4. многогра́нников;
    5. многогра́ннику;
    6. многогра́нникам;
    7. многогра́нник;
    8. многогра́нники;
    9. многогра́нником;
    10. многогра́нниками;
    11. многогра́ннике;
    12. многогра́нниках.
  5. Источник: Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку»



  6. Толковый словарь Ожегова

    МНОГОГРА́ННИК, -а, муж. Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками.

  7. Источник: Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992.



  8. Малый академический словарь

    , м.

    Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками.

    Правильный многогранник.

  9. Источник: Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.



  10. Толковый словарь Ушакова

    МНОГОГРА́ННИК, многогранника, муж. (мат.). Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими прямолинейными гранями (треугольниками, четырехугольниками и т.д.). Правильный многогранник.

    || Такое же тело, ограниченное более, чем четырьмя гранями.

  11. Источник: Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.



  12. Толковый словарь Ефремовой

    м.

    1.

    Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками.

    2.

    То, что по форме напоминает такое тело.

  13. Источник: Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.



  14. Большой энциклопедический словарь

    МНОГОГРАННИК - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер - вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

  15. Источник: Большой Энциклопедический словарь. 2000.



  16. Большой англо-русский и русско-английский словарь

    муж.;
    мат. polyhedronмногогранн|ик - м. мат. polyhedron;
    ~ый
    1. polyhedral;

    2. (разносторонний) many-sided, versatile.

  17. Источник: Большой англо-русский и русско-английский словарь



  18. Англо-русский словарь технических терминов

    polyhedron

  19. Источник: Англо-русский словарь технических терминов



  20. Русско-английский словарь математических терминов

    m.polyhedron, polytope

  21. Источник: Русско-английский словарь математических терминов



  22. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь

    многогранник м мат. Vielflach n 1a, Polyeder n 1d

  23. Источник: Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь



  24. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь

    м мат.

    Vielflach n, Polyeder n

  25. Источник: Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь



  26. Большой французско-русский и русско-французский словарь

    м. геогр.

    polyèdre m

  27. Источник: Большой французско-русский и русско-французский словарь



  28. Большой испано-русский и русско-испанский словарь

    м. мат.

    poliedro m

  29. Источник: Большой испано-русский и русско-испанский словарь



  30. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь

    м. мат.

    poliedro

  31. Источник: Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь



  32. Энциклопедия Кольера

    часть пространства, ограниченная совокупностью конечного числа плоских многоугольников (см. ГЕОМЕТРИЯ), соединенных таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным), причем вокруг каждой вершины существует ровно один цикл многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника. На рис. 1 представлены несколько известных многогранников. Первые два служат примерами р-угольных пирамид, т.е. многогранников, состоящих из р-угольника, называемого основанием, и р треугольников, примыкающих к основанию и имеющих общую вершину (называемую вершиной пирамиды). При р = 3 (см. рис. 1,а) основанием может служить любая грань пирамиды. Пирамида, основание которой имеет форму правильного р-угольника, называется правильной р-угольной пирамидой. Так, можно говорить о квадратных, правильных пятиугольных и т.д. пирамидах. На рис. 1,в, 1,г и 1,д приведены примеры некоторого класса многогранников, вершины которых можно разделить на два множества из одинакового числа точек; точки каждого из этих множеств являются вершинами р-угольника, причем плоскости обоих p-угольников параллельны. Если эти два р-угольника (основания) конгруэнтны и расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника параллельными прямолинейными отрезками, то такой многогранник называется р-угольной призмой. Примерами двух р-угольных призм могут служить треугольная призма (р = 3) на рис. 1,в и пятиугольная призма (р = 5) на рис. 1,г. Если же основания расположены так, что вершины одного р-угольника соединены с вершинами другого р-угольника зигзагообразной ломаной, состоящей из 2р прямолинейных отрезков, как на рис. 1,д, то такой многогранник называется р-угольной антипризмой.

    Рис. 1. МНОГОГРАННИКИ. а - тетраэдр, или пирамида с треугольными гранями; б - пирамида с треугольными гранями и квадратным основанием; в - треугольная призма; г - пятиугольная призма; д - р-угольная антипризма; е - исключенный тип многогранника с пересекающимися гранями.

    Рис. 1. МНОГОГРАННИКИ. а - тетраэдр, или пирамида с треугольными гранями; б - пирамида с треугольными гранями и квадратным основанием; в - треугольная призма; г - пятиугольная призма; д - р-угольная антипризма; е - исключенный тип многогранника с пересекающимися гранями.

    Кроме двух оснований, у р-угольной призмы имеются р граней - параллелограммов. Если параллелограммы имеют форму прямоугольников, то призма называется прямой, а если к тому же основаниями служат правильные р-угольники, то призма называется прямой правильной р-угольной призмой. р-угольная антипризма имеет (2p + 2) граней: 2р треугольных граней и два p-угольных основания. Если основаниями служат конгруэнтные правильные р-угольники, а прямая, соединяющая их центры, перпендикулярна их плоскостям, то антипризма называется прямой правильной р-угольной антипризмой. В определении многогранника последняя оговорка сделана для того, чтобы исключить из рассмотрения такие аномалии, как две пирамиды с общей вершиной. Теперь мы введем дополнительное ограничение множества допустимых многогранников, потребовав, чтобы никакие две грани не пересекались, как на рис. 1,е. Любой многогранник, удовлетворяющий этому требованию, делит пространство на две части, одна из которых конечна и называется "внутренней". Другая, оставшаяся часть, называется внешней. Многогранник называется выпуклым, если ни один прямолинейный отрезок, соединяющий любые две его точки, не содержит точек, принадлежащих внешнему пространству. Многогранники на рис. 1,а, 1,б, 1,в и 1,д выпуклые, а пятиугольная призма на рис. 1,г не выпуклая, так как, например, отрезок PQ содержит точки, лежащие во внешнем пространстве призмы.

    ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

    Выпуклый многогранник называется правильным, если он удовлетворяет следующим двум условиям: (i) все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники; (ii) к каждой вершине примыкает одно и то же число граней. Если все грани - правильные р-угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {p, q}. Это обозначение было предложено Л. Шлефли (1814-1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало изящных результатов в геометрии и математическом анализе. Существуют невыпуклые многогранники, у которых грани пересекаются и которые называются "правильными звездчатыми многогранниками". Так как мы условились такие многогранники не рассматривать, то под правильными многогранниками мы будем понимать исключительно выпуклые правильные многогранники.

    Платоновы тела. На рис. 2 изображены правильные многогранники. Простейшим из них является правильный тетраэдр, гранями которого служат четыре равносторонних треугольника и к каждой из вершин примыкают по три грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это не что иное, как частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром) - прямая квадратная призма, все шесть граней которой - квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Если две конгруэнтные квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних треугольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}. Правильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треугольной антипризмы. Рассмотрим теперь прямую правильную пятиугольную антипризму, грани которой имеют форму равносторонних треугольников, и две правильные пятиугольные пирамиды, основания которых конгруэнтны основанию антипризмы, а грани имеют форму равносторонних треугольников. Если эти пирамиды присоединить к антипризме, совместив их основания, то получится еще один правильный многогранник. Двадцать его граней имеют форму равносторонних треугольников, к каждой вершине примыкают по пять граней. Такой многогранник называется правильным икосаэдром и обозначается {3, 5}. Помимо четырех названных выше правильных многогранников, существует еще один - правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями; к каждой его вершине примыкают по три грани, поэтому додекаэдр обозначается как {5, 3}.

    Рис. 2. ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА, или правильные многогранники, имеют в качестве граней конгруэнтные правильные многоугольники, причем число граней, примыкающих к каждой вершине, одинаково. Таковы, как показано на рисунке, тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе - число граней, примыкающих к каждой вершине.

    Рис. 2. ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА, или правильные многогранники, имеют в качестве граней конгруэнтные правильные многоугольники, причем число граней, примыкающих к каждой вершине, одинаково. Таковы, как показано на рисунке, тетраэдр, куб (или гексаэдр), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Первое число в скобках указывает, сколько сторон у каждой грани, второе - число граней, примыкающих к каждой вершине.

    Пять перечисленных выше правильных многогранников, часто называемых также "телами Платона", захватили воображение математиков, мистиков и философов древности более двух тысяч лет назад. Древние греки даже установили мистическое соответствие между тетраэдром, кубом, октаэдром и икосаэдром и четырьмя природными началами - огнем, землей, воздухом и водой. Что касается пятого правильного многогранника, додекаэдра, то они рассматривали его как форму Вселенной. Эти идеи не являются одним лишь достоянием прошлого. И сейчас, спустя два тысячелетия, многих привлекает лежащее в их основе эстетическое начало. О том, что они не утратили свою притягательность и поныне, весьма убедительно свидетельствует картина испанского художника Сальвадора Дали Тайная вечеря. Древними греками исследовались также и многие геометрические свойства платоновых тел; с плодами их изысканий можно ознакомиться по 13-й книге Начал Евклида (см. также ГЕОМЕТРИЯ). Изучение платоновых тел и связанных с ними фигур продолжается и поныне. И хотя основными мотивами современных исследований служат красота и симметрия, они имеют также и некоторое научное значение, особенно в кристаллографии. Кристаллы поваренной соли, тиоантимонида натрия и хромовых квасцов встречаются в природе в виде куба, тетраэдра и октаэдра соответственно. Икосаэдр и додекаэдр среди кристаллических форм не встречаются, но их можно наблюдать среди форм микроскопических морских организмов, известных под названием радиолярий.

    Число правильных многогранников. Естественно спросить, существуют ли кроме платоновых тел другие правильные многогранники. Как показывают следующие простые соображения, ответ должен быть отрицательным. Пусть {p, q} - произвольный правильный многогранник. Так как его гранями служат правильные р-угольники, их внутренние углы, как нетрудно показать, равны (180 - 360/р) или 180 (1 - 2/р) градусам. Так как многогранник {p, q} выпуклый, сумма всех внутренних углов по граням, примыкающим к любой из его вершин, должна быть меньше 360 градусов. Но к каждой вершине примыкают q граней, поэтому должно выполняться неравенство

    где символ < означает "меньше чем". После несложных алгебраических преобразований полученное неравенство приводится к виду

    Нетрудно видеть, что p и q должны быть больше 2. Подставляя в (1) р = 3, мы обнаруживаем, что единственными допустимыми значениями q в этом случае являются 3, 4 и 5, т.е. получаем многогранники {3, 3}, {3, 4} и {3, 5}. При р = 4 единственным допустимым значением q является 3, т.е. многогранник {4, 3}, при р = 5 неравенству (1) также удовлетворяет только q = 3, т.е. многогранник {5, 3}. При p > 5 допустимых значений q не существует. Следовательно, других правильных многогранников, кроме тел Платона, не существует. Все пять правильных многогранников перечислены в таблице, приведенной ниже. В трех последних столбцах указаны N0 - число вершин, N1 - число ребер и N2 - число граней каждого многогранника. К сожалению, приводимое во многих учебниках геометрии определение правильного многогранника неполно. Распространенная ошибка состоит в том, что в определении требуется лишь выполнение приведенного выше условия (i), но упускается из виду условие (ii). Между тем условие (ii) совершенно необходимо, в чем проще всего убедиться, рассмотрев выпуклый многогранник, удовлетворяющий условию (i), но не удовлетворяющий условию (ii). Простейший пример такого рода можно построить, отождествив грань правильного тетраэдра с гранью еще одного тетраэдра, конгруэнтного первому. В результате мы получим выпуклый многогранник, шестью гранями которого являются конгруэнтные равносторонние треугольники. Однако к одним вершинам примыкают три грани, а к другим - четыре, что нарушает условие (ii).

    Свойства правильных многогранников. Вершины любого правильного многогранника лежат на сфере (что вряд ли вызовет удивление, если вспомнить, что вершины любого правильного многоугольника лежат на окружности). Помимо этой сферы, называемой "описанной сферой", имеются еще две важные сферы. Одна из них, "срединная сфера", проходит через середины всех ребер, а другая, "вписанная сфера", касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

    Двойственные многогранники. Рассмотрим правильный многогранник {p, q} и его срединную сферу S. Средняя точка каждого ребра касается сферы. Заменяя каждое ребро отрезком перпендикулярной прямой, касательной к S в той же точке, мы получим N1 ребер многогранника, двойственного многограннику {p, q}. Нетрудно показать, что гранями двойственного многогранника служат правильные q-угольники и что к каждой вершине примыкают р граней. Следовательно, многограннику {p, q} двойствен правильный многогранник {q, p}. Многограннику {3, 3} двойствен другой многогранник {3, 3}, конгруэнтный исходному (поэтому {3, 3} называется самодвойственным многогранником), многограннику {4, 3} двойствен многогранник {3, 4}, а многограннику {5, 3} - многогранник {3, 5}. На рис. 3 многогранники {4, 3} и {3, 4} показаны в положении двойственности друг другу. Кроме того, каждой вершине, каждому ребру и каждой грани многогранника {p, q} соответствует единственная грань, единственное ребро и единственная вершина двойственного многогранника {q, p}. Следовательно, если {p, q} имеет N0 вершин, N1 ребер и N2 граней, то {q, p} имеет N2 вершин, N1 ребер и N0 граней.

    Рис. 3. ДВОЙСТВЕННЫЕ МНОГОГРАННИКИ. Куб и октаэдр находятся в положении двойственности друг другу, грани являются q-угольниками, р из которых примыкают к каждой вершине.

    Рис. 3. ДВОЙСТВЕННЫЕ МНОГОГРАННИКИ. Куб и октаэдр находятся в положении двойственности друг другу, грани являются q-угольниками, р из которых примыкают к каждой вершине.

    Так как каждая из N2 граней правильного многогранника {p, q} ограничена р ребрами и каждое ребро является общим ровно для двух граней, то всего имеется pN2/2 ребер, поэтому N1 = pN2/2. У двойственного многогранника {q, p} ребер также N1 и N0 граней, поэтому N1 = qN0/2. Таким образом, числа N0, N1 и N2 для любого правильного многогранника {p, q} связаны соотношением

    Симметрия. Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы. Пусть l - прямая, соединяющая центры оснований. Поворот вокруг l на любое целое кратное угла 360/р градусов является симметрией. Пусть, далее, p - плоскость, проходящая посредине между основаниями параллельно им. Отражение относительно плоскости p (движение, переводящее любую точку P в точку P', такую, что p пересекает отрезок PP' под прямым углом и делит его пополам) - еще одна симметрия. Комбинируя отражение относительно плоскости p с поворотом вокруг прямой l, мы получим еще одну симметрию. Любую симметрию многогранника можно представить в виде произведения отражений. Под произведением нескольких движений многогранника как твердого тела здесь понимается выполнение отдельных движений в определенном заранее установленном порядке. Например, упоминавшийся выше поворот на угол 360/р градусов вокруг прямой l есть произведение отражений относительно любых двух плоскостей, содержащих l и образующих относительно друг друга угол в 180/р градусов. Симметрия, являющаяся произведением четного числа отражений, называется прямой, в противном случае - обратной. Таким образом, любой поворот вокруг прямой - прямая симметрия. Любое отражение есть обратная симметрия. Рассмотрим подробнее симметрии тетраэдра, т.е. правильного многогранника {3, 3}. Любая прямая, проходящая через любую вершину и центр тетраэдра, проходит через центр противоположной грани. Поворот на 120 или 240 градусов вокруг этой прямой принадлежит к числу симметрий тетраэдра. Так как у тетраэдра 4 вершины (и 4 грани), то мы получим всего 8 прямых симметрий. Любая прямая, проходящая через центр и середину ребра тетраэдра проходит через середину противоположного ребра. Поворот на 180 градусов (полуоборот) вокруг такой прямой также является симметрией. Так как у тетраэдра 3 пары ребер, мы получаем еще 3 прямые симметрии. Следовательно, общее число прямых симметрий, включая тождественное преобразование, доходит до 12. Можно показать, что других прямых симметрий не существует и что имеется 12 обратных симметрий. Таким образом, тетраэдр допускает всего 24 симметрии. Для наглядности полезно построить картонную модель правильного тетраэдра и убедиться, что тетраэдр действительно обладает 24 симметриями. Развертки, которые можно вырезать из тонкого картона и, сложив, склеить из них пять правильных многогранников, приведены на рис. 4.

    Рис. 4. РАЗВЕРТКИ пяти правильных многогранников.

    Рис. 4. РАЗВЕРТКИ пяти правильных многогранников.

    Прямые симметрии остальных правильных многогранников можно описать не по отдельности, а все вместе. Условимся понимать под {p, q} любой правильный многогранник, кроме {3, 3}. Прямая, проходящая через центр {p, q} и любую вершину, проходит через противоположную вершину, и любой поворот на целое кратное 360/q градусов вокруг этой прямой является симметрией. Следовательно, для каждой такой прямой существуют, включая тождественное преобразование, (q - 1) различных симметрий. Каждая такая прямая соединяет две из N0 вершин; следовательно, всего таких прямых - N0/2, что дает (q - 1) > N0/2 симметрий. Кроме того, прямая, проходящая через центр многогранника {p, q} и центр любой грани, проходит через центр противоположной грани, и любой поворот вокруг такой прямой на целое кратное 360/р градусов является симметрией. Так как общее число таких линий равно N2/2, где N2 - число граней многогранника {p, q}, мы получаем (p - 1) N2/2 различных симметрий, включая тождественное преобразование. Наконец, прямая, проходящая через центр и середину любого ребра многогранника {p, q}, проходит через середину противоположного ребра, и симметрией является полуоборот вокруг этой прямой. Поскольку имеется N1/2 таких прямых, где N1 - число ребер многогранника {p, q}, мы получаем еще N1/2 симметрий. С учетом тождественного преобразования получаем

    прямых симметрий. Других прямых симметрий нет, и имеется столько же обратных симметрий. Хотя формула (3) была получена не для многогранника {3, 3}, нетрудно проверить, что она верна и для него. Таким образом, многогранник {3, 3} обладает 12 прямыми симметриями, многогранники {4, 3} и {3, 4} имеют по 24 симметрии, а многогранники {5, 3} и {3, 5} - по 60 симметрий. Читатели, знакомые с абстрактной алгеброй, поймут, что симметрии многогранника {p, q} образуют группу относительно определенного выше "умножения". В этой группе прямые симметрии образуют подгруппу индекса 2, а обратные симметрии группу не образуют, так как нарушают свойство замкнутости и не содержат тождественного преобразования (единичного элемента группы). Обычно о группе прямых симметрий говорят как о группе многогранника, а полную группу симметрий называют его расширенной группой. Из рассмотренных выше свойств двойственных многогранников ясно, что любой правильный многогранник и двойственный ему многогранник имеют одну и ту же группу. Группа тетраэдра называется тетраэдрической группой, группа куба и октаэдра называется октаэдрической группой, а группа додекаэдра и икосаэдра - икосаэдрической группой. Они изоморфны знакопеременной группе А4 из четырех символов, симметрической группе S4 из четырех символов и знакопеременной группе А5 из пяти символов соответственно (см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ).

    ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

    Рассматривая таблицу, можно заметить интересное соотношение между числом вершин N0, числом ребер N1 и числом граней N2 любого выпуклого правильного многогранника {p, q}. Речь идет о соотношении

    которое называется формулой Эйлера в честь открывшего ее Л.Эйлера (1707-1783). Левая часть формулы (4) называется "эйлеровой характеристикой". Формула Эйлера используется в сочетании с формулами (2) и (3). Из (4) и (2) получаем:

    Отсюда следует выражение для N1 через p и q:

    где

    Воспользовавшись еще раз формулой (2), находим аналогичные выражения для N0 и N2:

    Подставляя полученные выражения в формулы (3) и (4), получаем, что число прямых симметрий многогранника {p, q} равно

    Это число можно записать также в одной из эквивалентных форм: qN0, 2N1 или pN2. Область применения формулы Эйлера. Значимость формулы Эйлера усиливается тем, что она применима не только к платоновым телам, но и к любому многограннику, гомеоморфному сфере (см. ТОПОЛОГИЯ). Это утверждение доказывается следующим образом. Пусть P - любой многогранник, гомеоморфный сфере, с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями; пусть c = N0 - N1 + N2 - эйлерова характеристика многогранника P. Требуется доказать, что c = 2. Так как Р гомеоморфен сфере, мы можем удалить одну грань и превратить остальные в некоторую конфигурацию на плоскости (например, на рис. 5,а и 5,б вы видите призму, у которой удалена передняя плоскость). "Плоскостная конфигурация" представляет собой сеть точек и прямолинейных отрезков, называемых соответственно "вершинами" и "ребрами", при этом вершины служат концами ребер. Вершины и ребра рассматриваемой нами конфигурации мы считаем смещенными и деформированными вершинами и ребрами многогранника. Таким образом, эта конфигурация имеет N0 вершин и N1 ребер. Остальные N2 - 1 граней многогранника деформируются в N2 - 1 непересекающихся областей на плоскости, определяемой конфигурацией. Назовем эти области "гранями" конфигурации. Вершины, ребра и грани конфигурации и определяют эйлерову характеристику, которая в данном случае равна c - 1.

    Рис. 5. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА позволяет решить, какие многогранники могут быть сведены к плоским фигурам последовательным удалением одной грани за другой. На рисунке показано превращение треугольной призмы в квадрат.

    Рис. 5. ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА позволяет решить, какие многогранники могут быть сведены к плоским фигурам последовательным удалением одной грани за другой. На рисунке показано превращение треугольной призмы в квадрат.

    Теперь мы проведем сплющивание так, что если удаленная грань была р-угольником, то все N2 - 1 граней конфигурации заполнят внутренность р-угольника. Пусть А - некоторая вершина внутри р-угольника. Предположим, что в А сходятся r ребер. Если удалить А и все r сходящихся в ней ребер, то число вершин уменьшится на 1, ребер - на r, граней - на r - 1 (см. рис. 5,б и 5,в). У новой конфигурации N'0 = N0 - 1 вершин, N'1 = N1 - r ребер и N'2 = N2 - 1 - (r - 1) граней; следовательно,

    Таким образом, удаление одной внутренней вершины и сходящихся в ней ребер не меняет эйлеровой характеристики конфигурации. Поэтому, удалив все внутренние вершины и сходящиеся в них ребра, мы тем самым сведем конфигурацию к р-угольнику и его внутренности (рис. 5,г). Но эйлерова характеристика останется по-прежнему равной c - 1, а так как конфигурация имеет р вершин, р ребер и 1 грань, мы получаем

    Таким образом, c = 2, что и требовалось доказать. Далее можно доказать, что если эйлерова характеристика многогранника равна 2, то многогранник гомеоморфен сфере. Иначе говоря, мы можем обобщить полученный выше результат, показав, что многогранник гомеоморфен сфере в том и только в том случае, если его эйлерова характеристика равна 2.

    Обобщенная формула Эйлера. Для классификации других многогранников используется обобщенная формула Эйлера. Если у некоторого многогранника 16 вершин, 32 ребра и 16 граней, то его эйлерова характеристика равна 16 - 32 + 16 = 0. Это позволяет утверждать, что данный многогранник принадлежит классу многогранников, гомеоморфных тору. Отличительной особенностью этого класса является эйлерова характеристика, равная нулю. Более общо, пусть Р - многогранник с N0 вершинами, N1 ребрами и N2 гранями. Говорят, что данный многогранник гомеоморфен поверхности рода n в том и только в том случае, если

    Наконец, следует заметить, что ситуация существенно усложняется, если смягчить прежнее ограничение, согласно которому никакие две грани многогранника не должны пересекаться. Например, появляется возможность существования двух негомеоморфных многогранников с одной и той же эйлеровой характеристикой. Их следует различать по другим топологическим свойствам.

  33. Источник: Энциклопедия Кольера



  34. Энциклопедический словарь

    МНОГОГРА́ННИК -а; м. Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Правильный м.

    * * *

    многогра́нник

    геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются рёбрами многогранника, а концы рёбер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр (рис. а), куб (б), октаэдр (в), додекаэдр (г), икосаэдр (д).Виды правильных многогранников.

    * * *

    МНОГОГРАННИК

    МНОГОГРА́ННИК, геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

  35. Источник: Энциклопедический словарь



  36. Математическая энциклопедия

    - совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что: 1) каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне); 2) от любого из многоугольников, составляющих М., можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д. Эти многоугольники наз. гранями, их стороны - ребрами, а их вершины - вершинами М.

    Приведенное определение М. получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник. Если под многоугольником понимают плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся), то приходят к первому определению М. Основная часть статьи построена на основе второго определения М., при к-ром его грани являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения М. есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность нек-рого геометрич. тела, к-рое также наз. М.; отсюда возникает третья точка зрения на М. как на геометрич. тела, причем допускается также существование у этих тел "дырок", ограниченных конечным числом плоских граней.

    Простейшими примерами М. являются призмы и пирамиды. М. наз. n-угольной пирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n-угольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида наз. также тетраэдром. М. наз. n-угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n-уголь-ники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани - параллелограммы, противоположными сторонами к-рых являются соответственные стороны оснований. Для всякого М. нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В- Р+Г=2 (теорема Эйлера). Для М. рода рсправедливо соотношение В-Р+Г=2-2р.

    Выпуклым многогранником наз. выпуклая оболочка конечного числа точек, т. е. такой М., к-рый лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий М.- выпуклый. Наиболее важны следующие выпуклые М.

    Правильные многогранники (тела Платона) - такие выпуклые М., все грани к-рых суть одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах правильные и равные (см. рис. 1- 5).

    Изогоны и изоэдры- выпуклые М., все многогранные углы к-рых равны (изогоны) или равны все грани (изоэдры); причем группа поворотов (с отражениями) изогона (изоэдра) вокруг центра тяжести переводит любую его вершину (грань) в любую другую его вершину (грань). Каждый из изоэдров может быть реализован так, что все его грани суть правильные многоугольники. Полученные так М. наз. полуправильными многогранниками (телами Архимеда) (см. рис. 10-25).

    Параллелоэдра (выпуклые) - М., рассматриваемые пак тела, параллельным пересечением к-рых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой, т. е. образовали разбиение пространства (см. рис. 26-30).

    Основываясь на первом (указанном в начале статьи) определении М., можно указать еще четыре правильных невыпуклых М. (тела Пуансо). В этих М. либо грани пересекают друг друга, либо сами грани - самопересекающиеся многоугольники (см. рис. 6-9). Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объемами таких М., удобно пользоваться именно первым определением М.

    Если у М. можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, к-рые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его наз. ориентируемым, в противном случае - неориентируемым. Для ориентируемого М. (даже если он - самопересекающийся и его грани - самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объема. Площадью ориентируемого М. наз. сумму площадей его граней. При определении объема следует иметь в виду, что совокупность внутренних кусков граней М. разделяет пространство на определенное число связных кусков, из к-рых один по отношению к М. бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к М. точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму "коэффициентов" тех внутренних кусков граней М., к-рые пересечет этот отрезок, наз. коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска М. (она не зависит от выбора внешней точки); такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объемов всех внутренних кусков М., умноженных на эти их коэффициенты, наз. объемом М.

    Рассматриваются п n-мерные М. Некоторые из указанных определений имеют n-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные M., при n=4 их оказалось 6, а при всех больших n всего 3: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра. В то же время, напр., неизвестны (1982) все 4-мерные изоэдры и изогоны.

    Лит.:[1] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4 - Геометрия, М., 1963; [2] Гильберт Д., Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, пер. с нем., 3 изд., М.- Л., 1981; [3] Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.- Л., 1950; [4] Люстерник Л. А., Выпуклые фигуры и многогранники, М., 1956; [5] Bruckner M., Vielecke und Vielflache. Theorie und Geschichte, Lpz., 1900.

    По материалам одноименной статьи из БСЭ-3.

  37. Источник: Математическая энциклопедия



  38. Большой энциклопедический политехнический словарь

    полиэдр, - геом. тело, огранич. со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями. Стороны граней наз. рёбрами, а концы рёбер - вершинами. По числу граней различают 4-гранники. 5-гранники и т. д. М. наз. выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Выпуклый М. наз. правильным, если все его грани правильные многоугольники (т. е. такие, у к-рых все стороны и углы равны) и все многогр. углы при вершинах равны. Существует пять видов правильных М.: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

  39. Источник: Большой энциклопедический политехнический словарь



  40. Большая политехническая энциклопедия

    МНОГОГРАННИК — (полиэдр) — геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (см.). Правильный М. — геометрическая выпуклая поверхность, у которой все грани — правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одинаковое количество рёбер. Существует пять видов правильных М.: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

  41. Источник: Большая политехническая энциклопедия



  42. Русско-английский политехнический словарь

    polyhedron

    * * *

    многогра́нник м.

    polyhedron, N-hedron, polytope

  43. Источник: Русско-английский политехнический словарь



  44. Dictionnaire technique russo-italien

    м.

    poliedro m

    - выпуклый многогранник

    - звёздчатый многогранник

    - невыпуклый многогранник

    - полуправильный многогранник

    - правильный многогранник

  45. Источник: Dictionnaire technique russo-italien



  46. Русско-украинский политехнический словарь

    матем., физ.

    багатогра́нник

    самопересека́ющийся многогра́нник — самоперети́нний багатогра́нник

    - архимедов многогранник

    - бесконечный многогранник

    - вписанный многогранник

    - выпуклый многогранник

    - замкнутый многогранник

    - звёздчатый многогранник

    - кельвинов многогранник

    - конечный многогранник

    - криволинейный многогранник

    - описанный многогранник

    - ориентируемый многогранник

    - правильный многогранник

    - связный многогранник

    - сомкнутые многогранники

  47. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  48. Русско-украинский политехнический словарь

    матем., физ.

    багатогра́нник

    самопересека́ющийся многогра́нник — самоперети́нний багатогра́нник

    - архимедов многогранник

    - бесконечный многогранник

    - вписанный многогранник

    - выпуклый многогранник

    - замкнутый многогранник

    - звёздчатый многогранник

    - кельвинов многогранник

    - конечный многогранник

    - криволинейный многогранник

    - описанный многогранник

    - ориентируемый многогранник

    - правильный многогранник

    - связный многогранник

    - сомкнутые многогранники

  49. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  50. Естествознание. Энциклопедический словарь

    геом. тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, наз. гранями. Стороны граней наз. рёбрами М., а концы рёбер - вершинами М. По числу граней различают четырёхгранники, пятигранники и т. д. М, наз. выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый М. наз. правильным, если все его грани одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных М. (тела Платона): тетраэдр (рис. а), куб (б), октаэдр (в), додекаэдр (г), икосаэдр (д).

    тетраэдр (рис. а), куб (б), октаэдр (в), додекаэдр (г), икосаэдр (д).

  51. Источник: Естествознание. Энциклопедический словарь



  52. Орфографический словарь-справочник

  53. Источник:



  54. Тезаурус русской деловой лексики

  55. Источник:



  56. Большой Энциклопедический словарь

  57. Источник: