«Упругости теория»

раздел механики (См. Механика), в котором изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т. — теоретическая основа расчётов на прочность, деформируемость и устойчивость в строительном деле, авиа- и ракетостроении, машиностроении, горном деле и др. областях техники и промышленности, а также в физике, сейсмологии, биомеханике и др. науках. Объектами исследования методами У. т, являются разнообразные тела (машины, сооружения, конструкции и их элементы, горные массивы, плотины, геологические структуры, части живого организма и т.п.), находящиеся под действием сил, температурных полей, радиоактивных облучений и др. воздействий. В результате расчётов методами У, т. определяются допустимые нагрузки, при которых в рассчитываемом объекте не возникают напряжения или перемещения, опасные с точки зрения прочности или недопустимые по условиям функционирования; наиболее целесообразные конфигурации и размеры сооружений, конструкций и их деталей; перегрузки, возникающие при динамическом воздействии, например при прохождении упругих волн (См. Упругие волны), амплитуды и частоты колебаний конструкций или их частей и возникающие в них динамические напряжения; усилия, при которых рассчитываемый объект теряет устойчивость. Этими расчётами определяются также материалы, наиболее подходящие для изготовления проектируемого объекта, или материалы, которыми можно заменить части организма (костные и мышечные ткани, кровеносные сосуды и т. п,). Методы У. т. эффективно используются и для решения некоторых классов задач теории пластичности (в методе последовательных приближений).

Физические законы упругости (См. Упругость) материалов, надёжно проверенные экспериментально и имеющие место для большинства материалов, по крайней мере при малых (а иногда и очень больших) деформациях, отражают взаимно однозначные зависимости между текущими (мгновенными) значениями напряжений σ и деформаций ε, в отличие от законов пластичности, в которых напряжения зависят от процесса изменения деформаций (при одних и тех же деформациях, достигнутых путём различных процессов, напряжения различны). При растяжении цилиндрического образца длины l, радиуса r, с площадью поперечного сечения Fимеет место пропорциональность между растягивающей силой Р, продольным удлинением образца Δl и поперечным удлинением Δr, которая выражается равенствами: ₁= P/F –нормальное напряжение в поперечном сечении, –относительноеудлинение образца, Е –модуль Юнга (модуль продольной упругости), ν – Пуассона коэффициент.При кручении тонкостенного трубчатого образца касательное напряжение τ в поперечном сечении вычисляется по значениям площади сечения, его радиуса и приложенного крутящего момента. Деформация сдвига γ, определяемая по наклону образующих, связана с τ равенством τ = Gγ, где G –модуль сдвига.

При испытаниях образцов, вырезанных из изотропного материала по разным направлениям, получаются одни и те же значения Е, G и ν. В среднем изотропны многие конструкционные металлы и сплавы, резина, пластмассы, стекло, керамика, бетон. Для анизотропного материала (древесина, кристаллы, армированные бетон и пластики, слоистые горные породы и др.) упругие свойства зависят от направления. Напряжение в любой точке тела характеризуется шестью величинами – компонентами напряжений: нормальными напряжениями σ_хх, σ_уу, σ_zzи касательными напряжениями σ_ху, σ_уz, σ_zx, Причём σ_ху=σ_ух и т.д. Деформация в любой точке тела также характеризуется шестью величинами – компонентами деформаций: относительными удлинениями ε_хх, ε_уу, ε_zz и сдвигами ε_ху, ε_уz, ε_zx, Причём ε_ху = ε_ух и т.д.

Основным физическим законом У. т. является обобщённый Гука закон, согласно которому нормальные напряжения линейно зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют вид:

,

,

где Ламе постоянные. Т. о., упругие свойства изотропного материала характеризуются двумя постоянными λ и μ или какими-нибудь выраженными через них двумя модулями упругости (См. Модули упругости).

Равенство (1) можно также представить в виде

,...,(2)

, …,

где – среднее (гидростатическое) напряжение, К –модуль всестороннего сжатия.

Для анизотропного материала 6 зависимостей между компонентами напряжений и деформаций имеют вид:

(3)

...............................................................

Из входящих сюда 36 коэффициентов c_ijназываются модулями упругости, 21 между собой независимы и характеризуют упругие свойства анизотропного материала.

Для нелинейного упругого изотропного материала в равенствах (2) всюду вместо μ входит коэффициент _u называется интенсивностью деформации, а функции Ф и f, универсальные для данного материала, определяются из опытов. Когда Ф(ε_u) достигает некоторого критического значения, возникают пластические деформации. Законы пластичности при пропорциональном возрастании нагрузок или напряжений (простое нагружение) имеют тот же вид, но с др. значениями функций Ф и f (законы теории малых упруго-пластических деформаций), а при уменьшении напряжений (разгрузке) имеют место соотношения (1) или (2), в которых вместо σ_ij и ε_ijподставляются их приращения (разности двух текущих значений).

Математическая задача У. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внешние силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить значения в любой точке тела компоненты напряжений и деформаций, а также компоненты u_x, u_y, и_z; вектора перемещения каждой частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде функций от координат x, у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения равновесия:

,

, (4)

где ρ – плотность материала, XYZ –проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (См. Массовая сила) (например, силы тяжести), отнесённые к массе этой частицы.

К трём уравнениям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств вида:

, …,

устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений.

Когда на часть S₁ граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (например, силы контактного взаимодействия), проекции которых, отнесённые к единице площади, равны F_x, F_y, F_z, а для части S₂ этой поверхности заданы перемещения её точек φ_х, φ_у, φ_z, граничные условия имеют вид:

(на S₁) (6)

, S₂) (7)

где l₁, l₂, l₃–косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S₁ трём равенствам (6), а вторые – что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S₂ равенствам (7); в частном случае может быть φ_x = φ_y = φ_z = 0 (часть поверхности S₂ жестко закреплена). Например, в задаче о равновесии плотины массовая сила – сила тяжести, поверхность S₂ подошвы плотины неподвижна, на остальной поверхности S₁ действуют силы: напор воды, давление различных надстроек, транспортных средств и т.д.

В общем случае поставленная задача представляет собой пространственную задачу У. т., решение которой трудно осуществимо. Точные аналитические решения имеются лишь для некоторых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конического тела и др. Т. к. уравнения У. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип линейной суперпозиции). В частности, если для какого-нибудь тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в какой-либо произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения, называются Грина функциями, получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и некоторые др.). Предложен ряд аналитических методов решения пространственной задачи У. т.: вариационные методы (Ритца, Бубнова – Галёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т. – одна из наиболее актуальных проблем У. т.

При решении плоских задач У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух координат) широкое применение находят методы теории функций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближённые решения многих практически важных задач на основе некоторых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам специфический интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. Устойчивость упругих систем).

В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения температуры. При математической постановке этой задачи в правую часть первых трёх уравнений (1) добавляется член T(x₁, x₂, x₃)–заданное поле температуры. Аналогичным образом строится теория электромагнитоупругости и упругости подвергаемых облучению тел.

Большой практических интерес представляют задачи У. т. для неоднородных тел. В этих задачах коэффициент λ, μ в уравнении (1) являются не константами, а функциями координат, определяющими поле упругих свойств тела, которое иногда задают статистически (в виде некоторых функций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статистические методы У. т., отражающие статистическую природу свойств поликристаллических тел.

В динамических задачах У. т. искомые величины являются функциями координат и времени. Исходными для математического решения этих задач являются дифференциальные уравнения движения, отличающиеся от уравнений (4) тем, что правые части вместо нуля содержат инерционные члены и т.д. К исходным уравнениям должны также присоединяться уравнения (1), (5) и, кроме граничных условий (6), (7), ещё задаваться начальные условия, определяющие, например, распределение перемещении и скоростей частиц тела в начальный момент времени. К этому типу относятся задачи о колебаниях конструкций и сооружений, в которых могут определяться формы колебаний и их возможные смены, амплитуды колебаний и их нарастание или убывание во времени, резонансные режимы, динамические напряжения, методы возбуждения и гашения колебаний и др., а также задачи о распространении упругих волн (сейсмические волны и их воздействие на конструкции и сооружения, волны, возникающие при взрывах и ударах, термоупругие волны и т.д.).

Одной из современных проблем У. т. является математическая постановка задач и разработка методов их решения при конечных (больших) упругих деформациях.

Экспериментальные методы У. т. (метод многоточечного тензометрирования, Поляризационно-оптический метод исследования напряжений, метод муаров и др.) позволяют в некоторых случаях непосредственно определить распределение напряжений и деформаций в исследуемом объекте или на его поверхности. Эти методы используются также для контроля решений, полученных аналитическими и численными методами, особенно когда решения найдены при каких-нибудь упрощающих допущениях. Иногда эффективными оказываются экспериментально-теоретические методы, в которых частичная информация об искомых функциях получается из опытов.

Лит.: Ляв А., Математическая теория упругости, пер. с англ., М. – Л., 1935; Лейбензон Л. С., Курс теории упругости, 2 изд., М. – Л., 1947; Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966; Трёхмерные задачи математической теории упругости, Тб., 1968; Лурье А. И., Теория упругости, М., 1970; Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, пер. с англ., т. 1–2, М., 1955; Теория температурных напряжений, пер. с англ., М., 1964; Снеддон И. Н., Берри Д. С., Классическая теория упругости, пер. с англ., М., 1961; Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н., Теория упругости, пер. с англ., М., 1975.

А. А. Ильюшин, В. С. Ленский.

УПРУГОСТИ ТЕОРИЯ

-раздел механики, в к-ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т.- основа расчётов на прочность, деформируемость и устойчивость в строит, деле, авиа-и ракетостроении, машиностроении, горном деле и др. областях техники и промышленности, а также в физике, сейсмологии, биомеханике и др. науках. Объектами исследования методами У. т. являются разнообразные тела (машины, сооружения, конструкции и их элементы, горные массивы, плотины, геол. структуры, части живого организма и т. п.), находящиеся под действием сил, температурных полей, радиоакт. облучений и др. воздействий. В результате расчётов методами У. т. определяются: допустимые нагрузки, при к-рых в рассчитываемом объекте не возникают напряжения или перемещения, опасные с точки зрения прочности или недопустимые по условиям функционирования; наиб, целесообразные конфигурации и размеры сооружений, конструкций и их деталей; перегрузки, возникающие при динамич. воздействии, напр, при прохождении упругих волн; амплитуды и частоты колебаний конструкций или их частей и возникающие в них динамич. напряжения; усилия, при к-рых рассчитываемый объект теряет устойчивость. Этими расчётами определяются также материалы, наиб. подходящие для изготовления проектируемого объекта, или материалы, к-рыми можно заменить части организма (костные и мышечные ткани, кровеносные сосуды и т. п.). Методы У. т. эффективно используются и для решения нек-рых классов задач пластичности теории (в методе последоват. приближений).

Законы упругости, имеющие место для большинства материалов, по крайней мере, при малых (а иногда и больших) деформациях, отражают взаимно однозначные зависимости между текущими (мгновенными) значениями напряжений и деформаций. Осн. физ. закон У. т.- обобщённый Гука закон, согласно к-рому напряжения линейно зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют вид,

где -ср. (гидростатич.) деформация, и -постоянные Ламе. Т. о., упругие свойства изотропного материала характеризуются двумя постоянными и или к.-н. выраженными через них двумя модулями упругости.

Равенство (1) можно также представить в виде

где -ср. (гидростатич.) напряжение, К- модуль объёмной упругости.

Для нелинейного упругого изотропного материала в равенства (2) всюду вместо m входит коэф. , а соотношение заменяется равенством , где величина наз. интенсивностью деформации, а ф-ции Ф и f, универсальные для данного материала, определяются из опытов. Когда достигает нек-рого критич. значения, возникают пластич. деформации.

Матем. задача У. т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внеш. силы (нагрузки) и т. н. граничные условия, определить в любой точке тела значения компонентов тензоров напряжений и деформаций, а также компоненты и _х, и _у, u_z вектора перемещения частицы тела, т. е. определить эти 15 величин в виде ф-ций от координат х, у, z точек тела. Исходными для решения этой задачи являются дифференц. ур-ния равновесия:

где р-плотность материала, X, Y,Z-проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой силы (напр., силы тяжести), отнесённой к массе этой частицы. К трём ур-ниям равновесия присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств вида

устанавливающих зависимости между компонентами деформаций и перемещений. Когда на часть S₁ граничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (напр., силы контактного взаимодействия), проекции к-рых, отнесённые к единице площади, равны F_x, F_y, F_z, a для части S₂ этой поверхности заданы перемещения её точек граничные условия имеют вид '

где l₁, l₂, l _з - косинусы углов между нормалью к поверхности и координатными осями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять на границе S₁ трём равенствам (5), а вторые - что искомые перемещения должны удовлетворять на границе S₂ равенствам (6); в частном случае может быть (часть S₂ поверхности жёстко закреплена). Напр., в задаче о равновесии плотины массовая сила-сила тяжести, поверхность S ₂ подошвы плотины неподвижна, на остальную поверхность S₁ действуют силы напора воды, давления разл. надстроек, транспортных средств и т. д.

В общем случае поставленная задача представляет собой пространственную задачу У. т., решение к-рой трудно осуществимо. Точные аналитические решения имеются лишь для нек-рых частных задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел, о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др. Так как ур-ния У. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем сил, действующих раздельно (принцип суперпозиции). В частности, если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в к.-л. произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.). Предложен ряд анали-тич. методов решения пространственной задачи У. т.: ва-риац. методы (Ритца, Бубнова - Талёркина, Кастильяно и др.), метод упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка общих методов решений пространственной задачи У. т.- одна из наиб, актуальных проблем У. т.

При решении плоских задач У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят только от двух координат) широкое применение находят методы теории ф-ций комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых в технике, найдены приближённые решения многих практически важных задач на основе нек-рых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. Устойчивость движения).

В задаче термоупругости определяются напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения темп-ры в теле. При матем. постановке этой задачи в правую часть первых трёх ур-ний (1) добавляется член где -коэф. линейного температурного расширения, Т(х ₁ x₂ x₃ )-заданное поле темп-ры. Аналогичным образом строится теория электромагните-упругости и упругости тел, подвергаемых облучению.

Большой практич. интерес представляют задачи У. т. для неоднородных тел. В этих задачах коэф.и в ур-ниях (1) являются не константами, а ф-циями координат, определяющими поле упругих свойств тела, к-рое иногда задают статистически (в виде нек-рых ф-ций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статис-тич. методы У. т., отражающие статистич. природу свойств поликристаллич. тел и нагрузок.

В динамич. задачах У. т. искомые величины - ф-ции координат и времени. Исходными для матем. решения этих задач являются дифференц. ур-ния движения, отличающиеся от ур-ний (3) тем, что правые части вместо нуля содержат инерц. члены и т. д. К исходным ур-ниям должны также присоединиться ур-ния (1), (4) и, кроме граничных условий (5), (6), ещё задаваться нач. условия, определяющие, напр., распределение перемещений и скоростей частиц тела в нач. момент времени. К этому типу относятся задачи о колебаниях конструкций и сооружений, в к-рых могут определяться формы колебаний и их возможные смены, амплитуды колебаний и их нарастание или убывание во времени, резонансные режимы, динамич. напряжения, методы возбуждения и гашения колебаний и др., а также задачи о распространении упругих волн (сейсмич. волны и их воздействие на конструкции и сооружения; волны, возникающие при взрывах и ударах; термоупругие волны и т. д.).

Одними из совр. проблем У. т. являются матем. постановка задач и разработка методов их решения при конечных (больших) упругих деформациях.

Эксперим, методы У. т. (метод многоточечного тензо-метрирования, поляризационно-оптический метод исследования напряжений, метод муаров и др.) позволяют в нек-рых случаях непосредственно определить распределение напряжений и деформаций в исследуемом объекте или на его поверхности. Эти методы используются также для контроля решений, полученных аналитич. и численным методами, особенно когда решения найдены при к.-н. упрощающих допущениях. Иногда эффективными оказываются экспериментально-теоретич. методы, в к-рых частичная информация об искомых ф-циях получается из опытов.

Лит.: ЛявА. (Лав), Математическая теория упругости, пер. с англ., М.- Л., 1935; Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1955; Боли Б., Уэй-нерДж., Теория температурных напряжений, пер. с англ., М., 1964; Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости, под ред. В. Д. Купрадзе, 2 изд., М., 1976; Тимошенко С. П., Гудьер Дж., Теория упругости, пер. с англ., 2 изд., М., 1979; Хан X., Теория упругости. Основы линейной теории и её применение, пер. с нем., М., 1988. А. А. Ильюшин, В, С. Ленский.