«Регрессия»

I

Регре́ссия

моря (от лат. regressio — обратное движение, отход), отступание моря от берегов. Происходит в результате поднятия суши, опускания дна океана или уменьшения объёма воды в океанических бассейнах (например, во время ледниковых эпох). Р. происходили многократно в различных районах Земли на протяжении всей её истории. См. также Трансгрессия.

II

Регре́ссия

в теории вероятностей и математической статистике, зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости у=f(х), когда каждому значению независимой переменной х соответствует одно определённое значение величины у, при регрессионной связи одному и тому же значению х могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины у. Если при каждом значении х = x_i наблюдается n_i, значений y_i1, ..., у, то зависимость средних арифметических x_i и является Р. в статистическом понимании этого термина. Примером такого рода зависимости служит, в частности, зависимость средних диаметров сосен от их высот; см. табл. в ст. Корреляция.

Изучение Р. в теории вероятностей основано на том, что случайные величины Х и Y, имеющие совместное распределение вероятностей, связаны вероятностной зависимостью: при каждом фиксированном значении Х=х величина Y является случайной величиной с определённым (зависящим от значения х) условным распределением вероятностей. Р. величины Y по величине Х определяется условным математическим ожиданием Y, вычисленным при условии, что Х = х:

Е(Y|х) =u(х).

Уравнение у=u(х), в котором х играет роль «независимой» переменной, называется уравнением регрессии, а соответствующий график — линией регрессии величины Yпо X. Точность, с которой уравнение Р. Y по Х отражает изменение Y в среднем при изменении х, измеряется условной дисперсией величины Y, вычисленной для каждого значения Х=х:

D(Y |х)=σ²(x).

Если σ²(х)= 0 при всех значениях х,то можно с достоверностью утверждать, что Y и Х связаны строгой функциональной зависимостью Y = u(X). Если σ²(х)= 0 при всех значениях хиu(х)не зависит от х, то говорят, что Р. Y по Х отсутствует. Аналогичным образом определяется Р. Х по Y и в частности, уравнение Р. х=υ(у),= Е(Х|Y =у). Функции у=u(х) их=υ(у), вообще говоря, не являются взаимно обратными.

Линии Р. обладают следующим замечательным свойством: среди всех действительных функций f (х) минимум математического ожидания Е[Y — f(X)]² достигается для функции f(x) = u(х), т. е. Р. Y по Х даёт наилучшее, в указанном смысле, представление величины Y по величине X. Это свойство используется для прогноза Y по X: если значение Y непосредственно не наблюдается и эксперимент позволяет регистрировать лишь компоненту Х вектора (X, Y), то в качестве прогнозируемого значения Y используют величину u (X).

Наиболее простым является случай, когда Р. Y по Х линейна:

Е(Y|x) = β₀ + β₁x.

Коэффициенты β₀ и β₁, называются коэффициентами регрессии, определяются равенствами

где m_Х и m_Y— математические ожидания Хи Y, Х и Y, а ρ — коэффициент корреляции между Х и Y. Уравнение Р. при этом выражается формулой

В случае, когда совместное распределение Х и Y нормально, обе линии Р. у=u(х)и х=υ(у) являются прямыми.

Если Р. Y по Х отлична от линейной, то последнее уравнение есть линейная аппроксимация истинного уравнения Р.: математическое ожидание Е[Y— b₀ — b₁X]²достигает минимума b₀ и b₁ при b₀=β₀ и b₁= β₁. Особенно часто встречается случай уравнения Р., выражающегося линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

у = u(Х)= β₀φ₀(x) + β₁φ₁(x) +... + β_mφ_m(x).

Наиболее важное значение имеет параболическая (полиномиальная) Р., при которой φ₀(x) =1 , φ₁(x) = x, ..., φ_m(x) =x^m.

Понятие Р. применимо не только к случайным величинам, но и к случайным векторам. В частности, если Y — случайная величина, а Х = (X₁, ..., X_k) —случайный вектор, имеющие совместное распределение вероятностей, то Р. Yпо X определяется уравнением

y=u(x₁, ...,x_k),

где u(x₁, ...,x_k) = E{Y|X=x₁, ... ,X_k=x_k}.

Если

u (x₁, ...,x_k) = β₀ + β₁x₁ + ... + β_kx_k,

то Р. называется линейной. Эта форма уравнения Р. включает в себя многие типы Р. с одной независимой переменной, в частности полиномиальная Р. Y по Х порядка k сводится к линейной Р. Yпо X₁, ..., X_k, если положить X_k=X^k.

Простым примером Р. Y по Х является зависимость между Y и X, которая выражается соотношением: Y =u(X) + δ, где u(x) = Е(Y IX =х), а случайные величины Х и δ независимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у=u(х) между неслучайными величинами у и х.

На практике обычно коэффициенты Р. в уравнении у = u(х) неизвестны и их оценивают по экспериментальным данным (см. Регрессионный анализ).

Первоначально термин «Р.» был употреблен английским статистиком Ф. Гальтоном (1886) в теории наследственности в следующем специальном смысле: «возвратом к среднему состоянию» (regression to mediocrity) было названо явление, состоящее в том, что дети тех родителей, рост которых превышает среднее значение на аединиц, имеют в среднем рост, превышающий среднее значение меньше чем на а единиц.

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Кендалл М. Дж., Стьюарт А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.

А. В. Прохоров.

1. регре́ссия;
2. регре́ссии;
3. регре́ссии;
4. регре́ссий;
5. регре́ссии;
6. регре́ссиям;
7. регре́ссию;
8. регре́ссии;
9. регре́ссией;
10. регре́ссиею;
11. регре́ссиями;
12. регре́ссии;
13. регре́ссиях.

-и, ж. мат.

Зависимость среднего значения какой-л. величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

ж.

Отступание моря и расширение суши за счёт выступившего морского дна.

РЕГРЕССИЯ моря - медленное ("вековое") отступание моря от берегов, происходящее вследствие поднятия суши, опускания океанического дна или уменьшения объема воды в океаническом бассейне (напр., во время ледниковых эпох). Регрессии неоднократно происходили на протяжении геологической истории, совпадая с эпохами горообразования. Современная геологическая эпоха - время регрессии, связанной с альпийским горообразованием. См. также Трансгрессия.

Регрессия - форма психологической защиты -. Характеризуется тем, что при ее реализации происходит возврат к более примитивным формам поведения - и мышления -, которые были свойственны для более ранней стадии онтогенетического развития.

стат. regressionregression

recession, regression

f.regression; эллипсоид регрессии, ellipsoid of regression; плоскость регрессии, regression plane; поверхность регрессии, regression surface; кривая регрессии, regression curve; коэффициент регрессии, coefficient of regression

ж. спец.

regressione

(лат. regressio отступление, отход)

в статистике — мера изменения признака при изменении на определенную величину другого, коррелирующего с ним признака.

РЕГРЕССИЯ (лат. regressio - движение назад) - 1) в наиболее распространенном значении - процесс, механизм и результат возвращения объекта в своей эволюции к ранее пройденным этапам, состояниям, формам и способам функционирования; 2) в психологии - форма и механизм психической защиты (защитный механизм, защитный механизм Эго, механизм защиты личности). Проблемы Р., в ее современном понимании, были разработаны в психоанализе Фрейда, где она преимущественно истолковывалась как механизм психической защиты и форма возвращения либидо от генетически поздней фазы развития к более ранней. Существование Р. объяснялось Фрейдом в первую очередь тем обстоятельством, что «первичная психика» (т.е. психика и психический опыт ребенка) неуничтожима и всегда присутствует в психике взрослого индивида, обеспечивая потенциальную возможность вынужденного возврата к тем или иным формам инфантильной психосексуальности. В психоанализе Фрейда выделяются в основном три, единых в своей основе, вида Р.: а) топическая Р. (обусловленная функционированием психического аппарата, проявляющаяся преимущественно в сновидениях, различных патологических процессах и процессах памяти), б) временная Р. (обусловленная действием прежних способов психической организации, проявляющаяся в возврате к существовавшим ранее уровням эволюции, либи-дозной организации и отношений к объектам), в) формальная Р. (обусловленная сменой образных представлений и способов выражения на более примитивные, проявляющаяся в возврате от вторичных процессов к первичным). Считается, что посредством Р. человек пытается избежать психического дискомфорта (тревоги и пр.). В случае эффективного срабатывания механизма Р. взрослый человек в ряде ситуаций ведет себя подобно ребенку (отказывается от самостоятельных решений и поступков, проявляет повышенную зависимость от окружающих, предается заведомо несбыточным мечтаниям, «бежит в болезнь» и т.д.). см. также: «БЕГСТВО В БОЛЕЗНЬ».

РЕГРЕ́ССИЯ -и; ж. Спец. Медленное отступание моря и расширение суши за счёт выступившего морского дна.

* * *

регрессия

I

(в теории вероятностей и математической статистике), зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

II

моря, медленное («вековое») отступание моря от берегов, происходящее вследствие поднятия суши, опускания океанического дна или уменьшения объёма воды в океаническом бассейне (например, во время ледниковых эпох). Регрессии неоднократно происходили на протяжении геологической истории, совпадая с эпохами горообразования. Современная геологическая эпоха — время регрессии, связанной с альпийским горообразованием. См. также Трансгрессия.

η νа ξ, где η, ξ — случайные величины, есть условное математическое ожидание , где f(x,y) — плотность совместного распределения η и ξ. Если среди всех функций g(ξ) найдется такая, которая дает лучшее в смысле метода наименьших квадратов представление другой величины, то это и есть кривая Р. Если мы заранее определим класс функций g(ξ), среди которых будем искать по методу наименьших квадратов наилучшее представление η, то полученные кривые называются кривыми средней квадратичной Р. Для линейной средней квадратичной Р. линия Р. g(ξ) = α + βξ, где α и β — коэффициенты Р., равные соответственно α = m₂ — βm₁,

, где m₁=Eξ, m₂=Eη,σ²₁=Dξ,σ²₂=Dη,

.В случае п случайных величин ξ₁,...,ξ_n, имеющих конечные вторые моменты, плоскость средней квадратичной P. ξ₁ относительно ξ₂,..., ξn есть ξ₁ = β_{12(3,4,...,n)}ξ₂ + β_{13(2,4,...,n)} ξ₃ + … + β_{1n(2,3...,n-1)}ξ_n, где β_ik(1,₂,₃,...,_n) — коэф. Р., равный , Λ_ik — алгебраическое дополнение элемента λ_ik в определителе Λ =|λ_ik|, λ_ik = E(ξ_i — Eξ_i) (ξ_k — Eξ_k). Аналогично определяется плоскость средней квадратичной Р. для любой другой случайной величины ξ_i относительно ξ_i,..., ξ_i-1, ξ_i+1,..., ξ_n. Если g(ξ) — нелинейная функция ξ = (ξ₁,..., ξ_n), то поверхность Р. имеет более сложный вид, чем плоскость. Уравнения Р. используются во всех случаях, когда по значениям одной или нескольких величин нужно предсказать условное среднее другой величины (напр., в минералогии по оптическим константам — состав м-ла). Одномерные Р., отнесенные к координатам, получили название временного тренда, двумерные Р. от географических координат — название площадного тренда (см. Тренд-анализ), широко распространенного в практике геол. работ.

- зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от нек-рой другой величины или от нескольких величин. Если, например, при каждом значении х=x_i наблюдается n_i значений случайной величины Y, то зависимость средних арифметических

этих значений от x_i и является Р. в статистич. понимании этого термина. При обнаруженной закономерности изменения с изменением хпредполагается, что в основе наблюдаемого явления лежит вероятностная зависимость: при каждом фиксированном значении хслучайная величина Y имеет определенное распределение вероятностей с математич. ожиданием, к-рое является функцией х:

Зависимость , где хиграет роль "независимой" переменной, наз. р е г р е с с и е й (или ф у н к ц ие й р е г р е с с и и) в вероятностном понимании этого термина. График функции т(х)наз. л и н и е й р ег р е с с и и, или к р и в о й р е г р е с с и и, величины Y по х. Переменная хназ. р е г р е с с и о н н о й п е р е м е н н о й, или р е г р е с с о р о м. Точность, с к-рой линия регрессии Yпо хпередает изменение Yв среднем при изменении х, измеряется дисперсией величины Y, вычисляемой для каждого значения х:

Графически зависимость дисперсии s² (х)от хвыражается т. н. с к е д а с т и ч е с к о й л и н и е й. Если s² (х)=0при всех значениях x, то с вероятностью 1 величины связаны строгой функциональной зависимостью. Если s² (х)№0ни при каком значении хи т (х)не зависит от х, то регрессия Yпо хотсутствует..

В теории вероятностей задача Р. решается применительно к такой ситуации, когда значения регрессионной переменной х соответствуют значениям нек-рой случайной величины Xи предполагается известным совместное распределение вероятностей величин Xи Y(при этом математич. ожидание и дисперсия будут соответственно условным математич. ожиданием и условной дисперсией случайной величины Yпри фиксированном значении X=x). В этом случае определены две Р.: Y по х и X по у, и понятие Р. может быть использовано также для того, чтобы ввести нек-рые меры взаимосвязанности случайных величин X и Y, определяемые как характеристики степени концентрации распределения около линий Р. (см. Корреляция).

Функции Р. обладают тем свойством, что среди всех действительных функций f(x)минимум математич. ожидания достигается для функции f(x)= т (х), то есть регрессия Y по хдает наилучшее (в указанном смысле) представление величины Y. Наиболее важным является тот случай, когда регрессия Y по хл и н е й н а, т. е.

Коэффициенты b₀ и b₁, наз. коэффициентами Р., легко вычисляются:

(здесь r - корреляции коэффициент X и Y, ,

, и п р я м а я регрессии Y по х имеет вид

(аналогичным образом находится прямая регрессии Xпо у). Точная линейная Р. имеет место в случае, когда двумерное распределение величин Xи Y является нормальным.

В условиях статистич. приложений, когда для точного определения Р. нет достаточных сведений о форме совместного распределения вероятностей, возникает задача приближенного нахождения Р. Решению этой задачи может служить выбор из всех функций g(x), принадлежащих заданному классу, такой функции, к-рая дает наилучшее представление величины Y в том смысле, что минимизирует математич. ожидание . Найденная функция наз. с р е д н е й к в а д р а т и ч е с к о й Р.

Простейшим будет случай л и н е й н о й с р е д н е й к в а д р а т и ч е с к о й Р., когда отыскивают наилучшую линейную аппроксимацию величины Y посредством величины X, т. е. такую линейную функцию

, для к-рой выражение

принимает наименьшее возможное значение. Данная экстремальная задача имеет единственное решение

т. е. вычисление приближенной линии Р. приводит к тому же результату, к-рый получен в случае точной линейной Р.:

Минимальное значение при вычисленных значениях параметров равно . Если регрессия т(х)существует, то при любых b₀ и b₁ имеет место соотношение

откуда следует, что прямая средней квадратич. регрессии дает наилучшее приближение к линии регрессии т(х), если измерять расстояние вдоль оси у. Поэтому если линия т(х)есть прямая, то она совпадает с прямой средней квадратической Р.

В общем случае, когда Р. сильно отличается от линейной, можно поставить задачу нахождения многочлена нек-рой степени т, для к-рого среднее значение имеет возможно меньшее значение.

Такое решение задачи соответствует п а р а б о л ич е с к о й (или п о л и н о м и а л ь н о й) средней квадратической Р. (см. Параболическая регрессия).порядка т. Кривая есть парабола m-го порядка, дающая наилучшую аппроксимацию истинной линии Р. Обобщением параболической Р. служит функция Р., выраженная линейной комбинацией тех или иных заданных функций:

Наиболее важное значение имеет случай, когда j₀ (х),...,j_m (х) - ортогональные многочлены соответствующих порядков, построенные по распределению X. Другими примерами н е л и н е й н о й (к р и в о л ин е й н о й) Р. являются случаи тригонометрической Р., показательной Р., и т. п.

Понятие Р. естественным образом обобщается на тот случай, когда вместо одной регрессионной переменной рассматривается нек-рое множество переменных. Если случайные величины X₁ Х₂,..., Х _п имеют совместное распределение вероятностей, то множественная Р. определяется, напр., как регрессия X₁ по x₂,..., х _п:

Соответствующее уравнение определяет поверхность регрессии Х ₁ по х₂,..., х _n. Линейная регрессия Х ₁ по х ₂,..., х _п имеет вид

где b₂,..., b_n- коэффициенты Р. (при ). Линейная средняя квадратическая Р. величины Х ₁ по x₂,..., х _п определяется как наилучшая линейная оценка величины Х ₁ величинами Х ₂,..., Х _п в смысле обращения в минимум выражения

Соответствующая п л о с к о с т ь Р. дает наилучшую аппроксимацию поверхности регрессии x₁=m(x₂,..., х _п), если последняя существует. Если поверхность Р. есть плоскость, то она необходимо совпадает с плоскостью средней квадратической Р. (так будет в случае, когда совместное распределение всех пвеличин нормально).

Простым примером регрессии Yпо Xявляется зависимость между Yи X, к-рая выражается соотношением , где , а случайные величины Xи dнезависимы. Это представление полезно, когда планируется эксперимент для изучения функциональной связи у=и (х)между неслучайными величинами уи х. Эта же модель Р. используется во многих приложениях при изучении характера зависимости случайной величины Yот неслучайной величины х. На практике выбор функции у=и (х)и оценку неизвестных коэффициентов Р. по экспериментальным данным производят методами регрессионного анализа.

Лит.:[1] К р а м е р Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] К е н д а л л М. Д ж., С т ь ю а р т А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973. А. <В. Прохоров.

(от лат. regressio - обратное движение, отход) в теории вероятностей и математической статистике - зависимость ср. значения к.-л. величины от нек-рой др. величины или от неск. величин.

recession, regression

* * *

регре́ссия ж.

regression

лине́йная регре́ссия — linear regression

регре́ссия от мно́гих пара́метров — multiple regression

регре́ссия от одного́ пара́метра — regression on one variable

* * *

regression

ж. матем.

regressione f

- линейная регрессия

- нелинейная регрессия

астр., матем.

реґре́сія

- кратная регрессия

- криволинейная регрессия

- линейная регрессия

- ортогональная регрессия

- параболическая регрессия

- прямолинейная регрессия

- регрессия узлов

астр., матем.

реґре́сія

- кратная регрессия

- криволинейная регрессия

- линейная регрессия

- ортогональная регрессия

- параболическая регрессия

- прямолинейная регрессия

- регрессия узлов

1) РЕГРЕССИЯ - (в теории вероятностей и матем. статистике), зависимость ср. значения к.-л. величины от нек-рой др. величины или от неск. величин.

2) РЕГРЕССИЯ моря, медленное ("вековое") отступание моря от берегов, происходящее вследствие поднятия суши, опускания океанич. дна или уменьшения объёма воды в океанич. басс. (напр., во время ледниковых эпох). Р. неоднократно происходили на протяжении геол. истории, совпадая с эпохами горообразования. Совр. геол. эпоха - время Р., связанной с альпийским горообразованием. См. также Трансгрессия.

- англ. regression; нем. Regression. 1. В теории вероятностей и математической статистике - зависимость среднего значения к.-л. величины от нек-рой величины или нескольких величин. 2. В биологии - возвращение к (прежнему) более раннему (или менее развитому) состоянию (или форме) или к общему (или распространенному) типу. 3. В психоанализе - защитный механизм, являющийся формой психол. приспособления в ситуации конфликта или тревоги, когда человек прибегает к более ранним, менее зрелым и менее адекватным образцам поведения, к-рые кажутся ему гарантирующими защиту и безопасность.

(REGRESSION) (1) Статистический термин, обозначающий изменение значения одной переменной в зависимости от другой плюс фактор ошибки. Регрессия, как и корреляция, является мерой связи. Она используется для оценки значений зависимой переменной на основе значений переменной независимой. Простая линейная регрессия графически представлена ниже в форме диаграммы рассеивания. Значения двух переменных, х и у, нанесены в виде координат; линия регрессии переменной у, зависящей от независимой переменной х, является статистическим построением, которое представляет линию наибольшего «соответствия» данным. Обычно линия регрессии выражается в виде уравнения, представляющего значения зависимой переменной. Как правило, регрессии используются в более сложной множественной форме, когда зависимая переменная изменяется одновременно с несколькими другими (множественная линейная регрессия). Например, простая линейная регрессия числа несчастных случаев на дорогах и числа автомобилей на них может указывать на некоторую связь этих переменных, но для полноты анализа необходимы дополнительные переменные, поскольку число несчастных случаев изменяется в зависимости не только от числа транспортных средств, но также от среднего пробега автомобилей, их средней скорости, типов дороги и т.д. При множественной регрессии одновременно анализируются две и более зависимые переменные. Регрессия предполагает интервальный или пропорциональный уровни измерения. Многие социологические данные на этих уровнях не измеряются, однако распространенным приемом является создание дихотомических «фиктивных» переменных, отвечающих требованиям измерения при использовании регрессии. См. также: Зависимые и независимые переменные; Измерения уровни; Логлинейный анализ; Причинное моделирование; Путевой анализ. (2) Психологический термин, описывающий возвращение индивидов, находящихся в состоянии стресса, к поведенческим особенностям более ранней и более импульсивной стадии развития, например, когда взрослые реагируют на стресс, начиная вести себя подобно детям.

- англ. regression; нем. Regression. 1. В теории вероятностей и математической статистике - зависимость среднего значения к.-л. величины от нек-рой величины или нескольких величин. 2. В биологии - возвращение к (прежнему) более раннему (или менее развитому) состоянию (или форме) или к общему (или распространенному) типу. 3. В психоанализе - защитный механизм, являющийся формой психол. приспособления в ситуации конфликта или тревоги, когда человек прибегает к более ранним, менее зрелым и менее адекватным образцам поведения, к-рые кажутся ему гарантирующими защиту и безопасность.

РЕГРЕССИЯ

РЕГРЕССИЯ моря - медленное ("вековое") отступание моря от берегов, происходящее вследствие поднятия суши, опускания океанического дна или уменьшения объема воды в океаническом бассейне (напр., во время ледниковых эпох). Регрессии неоднократно происходили на протяжении геологической истории, совпадая с эпохами горообразования. Современная геологическая эпоха - время регрессии, связанной с альпийским горообразованием. См. также Трансгрессия.

Большой Энциклопедический словарь. 2000.

Источник: