«Предел»

Предел в словарях и энциклопедиях

Значение слова «Предел»

Источники

  1. Словарь Брокгауза и Ефрона
  2. Большая Советская энциклопедия
  3. Словарь форм слова
  4. Толковый словарь Даля
  5. Толковый словарь Ожегова
  6. Малый академический словарь
  7. Толковый словарь Ушакова
  8. Толковый словарь Ефремовой
  9. Большой энциклопедический словарь
  10. Большой англо-русский и русско-английский словарь
  11. Англо-русский словарь технических терминов
  12. Русско-английский словарь математических терминов
  13. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  14. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  15. Большой французско-русский и русско-французский словарь
  16. Большой испано-русский и русско-испанский словарь
  17. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  18. Латинско-русский и русско-латинский словарь крылатых слов и выражений
  19. Научно-технический энциклопедический словарь
  20. Русско-китайский словарь: пресса, интернет, радио, телевидение
  21. Энциклопедический словарь
  22. Математическая энциклопедия
  23. Большой энциклопедический политехнический словарь
  24. Большая политехническая энциклопедия
  25. Русско-английский политехнический словарь
  26. Dictionnaire technique russo-italien
  27. Русско-украинский политехнический словарь
  28. Русско-украинский политехнический словарь
  29. Естествознание. Энциклопедический словарь
  30. История слов
  31. История слов
  32. Словарь церковнославянского языка
  33. Русско-шведский бизнес-словарь
  34. Тезаурус русской деловой лексики
  35. Большой Энциклопедический словарь
  36. Толковый словарь Даля

    Словарь Брокгауза и Ефрона

    см. Дифференциальное исчисление, определение III.

  1. Источник: Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона



  2. Большая Советская энциклопедия

    одно из основных понятий математики. П. — постоянная, к которой неограниченно приближается некоторая переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. Простейшим является понятие П. числовой последовательности, с помощью которого могут быть определены понятия П. функции, П. последовательности точек пространства, П. интегральных сумм.

    Предел последовательности. Пусть задана последовательность действительных чисел xn, n=1, 2,... Число а называется пределом этой последовательности, если для любого числа ε > 0 существует такой номер nε, что для всех номеров nnε выполняется неравенство |xn — a|

    (lim — первые буквы латинского слова limes), или

    xn → aприn→ ∞.

    Если последовательность имеет П., то говорят, что она сходится. Так, последовательность 1/n, n= 1, 2,..., сходится и имеет своим П. число 0. Не всякая последовательность имеет П., например последовательность 1, —1, 1,..., (—1) n+1,... не имеет П. Последовательность, не имеющая П., называется расходящейся. На геометрическом языке существование у последовательности П., равного а, означает, что каждая окрестность точки а содержит все члены данной последовательности, за исключением, быть может, их конечного числа.

    Для П. последовательностей имеют место формулы

    c - постоянная)

    Эти формулы справедливы в предположении, что П., стоящие в их правых частях, существуют, причём в формуле для П. частного xn/yn надо ещё дополнительно потребовать, чтобы xn yn и последовательности xn и yn, n = 1, 2,... сходятся, то

    т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются (но из xn ynне вытекает , например, 1/n > 0, n =1, 2,... однако xnznyn,то последовательность zn, n= 1,2,...,сходится к тому же П.:

    Последовательность an, n = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой (См. Бесконечно малая)). Так, например, последовательность 1/2, 2/3, 3/4,..., n/(n + 1),... имеет своим П. единицу, поскольку разность 1 — n/(n+ 1) = 1/(n+ 1), n = 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.

    Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через an приближённое значение его корня k — натуральное число) с nдесятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то anan+1n = 1, 2, …, поэтому последовательность an, сходится, причём из неравенства 0 ≤ an ≤ 10-n следует, что

    Для того чтобы сходилась произвольная последовательность xn, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех номеров mNε и nNεвыполняется неравенство |xn — xm| <>

    Если последовательность xn, n = 1, 2,..., такова, что для числа ε > 0 существует такой номер nε, что для всех номеров nnε выполняется неравенство |xn| > ε, то последовательность xn, называется бесконечно большой и пишется

    Если же при этом для любого ε > 0 существует такой номер nε, что xn>ε(соответственноxnnnε, то пишется

    Эти П. называются бесконечными. Например, n2, n= 1, 2, …,, можно написать не только n=n и yn = бесконечно большие, а последовательность xn+ yn,, n= 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

    Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности xn, n =1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается

    Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом ε > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а —ε, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a+ε.

    Предел функции. Пусть функция f, принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x0,кроме, быть может, само́й точки x0.Функция f имеет П. в точке x0, если для любой последовательности точек xn, n=1, 2,..., xnx0, стремящейся к точке x0, последовательность значений функции f(xn) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции fв точке x0, (или при xx0) при этом пишется

    или

    f(x) → A приx → x0

    В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

    Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x0,если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек хx0, удовлетворяющих условию ∣х — x0δ, xx0, выполняется неравенство ∣f(x)—A∣ <>

    Все основные элементарные функции: постоянные, Степенная функцияхα, Показательная функцияax,Тригонометрические функции sinx, cosx,tgxи ctgx и Обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

    являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q=1/(1 +x2), 0q1, в точке х=0 имеет П., равный 1, ибо f(x)=1+x2при x ≠ 0.Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f(0) = 0. Функция же

    x ≠ 0,

    вовсе не имеет П. при х0, ибо уже для значений xn =1/(π/2 + πn) последовательность соответствующих значений функции f(xn)=(-1) n не имеет П.

    Если П. функции при хх0 равен нулю, то она называется бесконечно малой при хх0. Например, функция sinx бесконечно мала при х → 0. Для того чтобы функция f имела при хх0 П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f(x)=A+α(x), где α(х) является бесконечно малой при хх0

    Если при определении П. функции fв точке x0 рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x0, то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается

    Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

    Например,

    означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > δ, выполняется неравенство ∣f(x) - А∣ <>

    Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции (См. Монотонная функция).Так, если функция f определена на интервале (а, b) и не убывает, то в каждой точке х, ахb, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f(x)=x х → 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

    Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x0 П. в том и только в том случае, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек х' и х ", удовлетворяющих условию ∣х’ - x0x " — x0∣ <>x'x0, x'’x0,выполняется неравенство ∣f(x ") — f(x')∣ <>

    Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида f называется бесконечно большой при хх0, При хх0+ 0 или При х → +∞соответственно и т.д. Например,

    означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию хf(x) >ε.

    Расширение понятия предела функции. Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x0 такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x0,кроме, быть может, самой точки x0,определяется понятие предела функции по множеству Е

    для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: хЕ. П. последовательности xn, n=1, 2,..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f(n)=xn, n=1, 2,....

    Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х → 0, однако по множеству рациональных чисел она при х → 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например

    Предел интегральных сумм. Ещё одно важное понятие П. возникает при определении Интеграла. Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b]. Совокупность {xi} таких точек xi, что

    a=x0 x1...<>xi...xn-1xn =b,

    наз. разбиением отрезка [a, b]. Пусть xi-1≤ ξI xi,Δxi =xi - xi-1, i= 1, 2,..., n.Тогда сумма f1x1 +f2x2 +...+fnxn называется интегральной суммой функции f. Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:

    если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что каково бы ни было разбиение {xi}отрезка [a, b], для которого Δxi i, xi-1 ≤ ξI ≤ xi, i= 1, 2,..., n, выполняется неравенство

    f1x1+ f2x2+... + fnxn - A| <>

    Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.

    Обобщения понятия предела. Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Например, можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений АВ или BA и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а называется пределом функции f по направлению S, если для любого ε > 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f(x)— а| ε. При определении П. функции f в точке x0 за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х0.При определении П. интегральных сумм функции f, заданной на отрезке [а, b], следует рассмотреть множество Е, элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b] с выбранными в них точками ξi. Подмножества Eη множества Е, отвечающие разбиениям, длины Δxi, отрезков которых не превышают η, образуют направление. П. интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е) по указанному направлению является интеграл.

    Понятие П. обобщается на более широкие классы функций, например на функции, заданные на частично упорядоченных множествах, или на функции, являющиеся отображениями одного пространства (метрического или, более общо, топологического) на другое. Наиболее полно задача определения П. решается в топологии и означает в общем случае, что некоторый объект, обозначенный f(x), меняющийся при изменений др. объекта, обозначенного через х, при достаточно близком приближении объекта х к объекту х0 сколь угодно близко приближается к объекту А. Основным в такого рода понятиях П. является понятие близости объектов х и x0, f(x) и А, которые нуждаются в математическом определении. Только после того как это будет сделано, высказанному определению П. можно будет придать чёткий смысл и оно станет содержательным. Различные понятия близости и изучаются, в частности, в топологии.

    Встречаются, однако, понятия П. др. природы, не связанные с топологией, например понятие П. последовательности множеств. Последовательность множеств An, n= 1, 2,..., называется сходящейся, если существует такое множество А,называемое её пределом, что каждая его точка принадлежит всем множествам An, начиная с некоторого номера, и каждая точка из объединения всех множеств An, не принадлежащая A, принадлежит лишь конечному числу An.

    Историческая справка. К понятию П. вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью Исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории П. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие П. не было сформулировано, не было создано и каких-либо основ общей теории.

    Новый этап в развитии понятия П. наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальери, Б. Паскаль и др. широко используют при вычислении площадей и объёмов «неделимых» метод (См. Неделимых метод), метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гульдин, Х. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия П. появляются попытки создать общую теорию П. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги («О движении тел») своего труда «Математические начала натуральной философии» посвящает своеобразной теории П. под названием «Метод первых и последних отношений», которую он берёт за основу своего флюксий исчисления (См. Флюксий исчисление).В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию «потенциальной» бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положит, конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о П. Понятие П., намечавшееся у математиков 17 в., в 18 в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. Д'Аламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

    Современная теория П. начала формироваться в начале 19 в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т.п.). Впервые в работах О. Коши понятие П. стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования П. последовательностей, основные теоремы о П. и. что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как П. интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие П. последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцанои К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия П. следует отметить понятия П., данные в работах С. О. Шатуновского (См. Шатуновский) (опубликовано в 1923), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922) и французского математика А. Картана (1937).

    Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967.

    Л. Д. Кудрявцев.

  3. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  4. Словарь форм слова

    1. преде́л;
    2. преде́лы;
    3. преде́ла;
    4. преде́лов;
    5. преде́лу;
    6. преде́лам;
    7. преде́л;
    8. преде́лы;
    9. преде́лом;
    10. преде́лами;
    11. преде́ле;
    12. преде́лах.
  5. Источник: Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку»



  6. Толковый словарь Даля

    муж. начало или конец, кон, межа, грань, раздел, край, рубеж или граница; конец одного и начало другого, в смысле вещественном и духовном. Пределы государства, рубежи, границы. Предел моря, берег; предел суши, вода. Предел жизни, смерть. Предел власти, мера, степень, которую не должно нарушать. Предел ума, выше чего он не сягает. Предел терпения, далее чего терпеть, сносить чего нет сил. Выйти из пределов чего, из границ, из меры; нарушить порядок, правила, обычай. Китайские пределы, страна, земля, государство, окруженное пределами. Предельный, ко пределам, в разных ·знач. относящийся

  7. Источник: Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863-1866.



  8. Толковый словарь Ожегова

    ПРЕДЕ́Л, -а, муж.

    1. Пространственная или временная граница чего-н.; то, что ограничивает собою что-н. За пределами страны. В пределах текущего года.

    2. Последняя, крайняя грань, степень чего-н. П. совершенства. П. скорости. П. прочности. П. упругости. П. желаний. На пределе сил. Дойти до предела. Силы (нервы) на пределе (крайне напряжены).

    3. Страна, местность (стар.). Вернуться в родные пределы.

    4. ед. Участь, судьба (прост.). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Такой уж, видно, ему п. был на чужбине умереть.

    5. В математике: число, к-рое в нек-рых случаях может быть приписано функции (и точке) или последовательности.

    • За пределами чего вне чего-н., вне границ, вне допустимого, возможного. Такие поступки за пределами моего понимания. Это за пределами наших возможностей.

    В пределах чего, в знач. предлога с род. ограничивая (-сь) чем-н., не выходя за какие-н. границы, рамки. Действовать в пределах допустимого законом.

    В пределы чего, в знач. предлога с род. в какие-н. рамки, применяя ограничения. Ввести в пределы допустимого.

    За пределы чего, в знач. предлога с род. из границ, из рамок чего-н. Этот случай выходит за пределы привычного.

    Из пределов чего, в знач. предлога с род. то же, что за пределы.

    | прил. предельный, -ая, -ое (к 1 и 5 знач.). Предельная точка. Предельное равновесие. П. срок.

  9. Источник: Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992.



  10. Малый академический словарь

    , м.

    1.

    Край, конечная часть чего-л.

    Здесь крайний предел Пермской губернии. Мамин-Сибиряк, Дружки.

    Казалось, что нет и не будет предела этим лесам. Белов, Кануны.

    || перен.

    Конец, окончание, завершение чего-л.

    [Больной] не думал о своем близком конце, — о том пределе, к которому он несся с головокружительной быстротой. Гладков, Энергия.

    Она была для них старым, подходящим к пределу жизни человеком, которому оставалась последняя женская доля — материнская забота. Лавренев, Старуха.

    Только катастрофа могла бы поставить предел разладу Никиты с самим собою. Федин, Братья.

    2. мн. ч. (преде́лы, -ов).

    Естественная или условная черта, являющаяся границей какой-л. территории; рубеж.

    На востоке он [Святослав] раздвинул пределы русской земли до тех границ, которые через пятьсот лет пришлось снова очерчивать Ивану Грозному. А. Н. Толстой, Откуда пошла русская земля.

    Оказавшись за пределами отчей земли, Шаляпин умер от ностальгии — тоски по родине. Грибачев, Березка и океан.

    || чего или какие.

    Местность, пространство, заключенные в какие-л. границы.

    Ашагинские леса приняли охотников в свои заповедные пределы. Тихонов, Двойная радуга.

    Этой ночью весеннею белой Соловьи славословьем грохочущим Оглашают лесные пределы. Пастернак, Белая ночь.

    Постепенно камерная музыка вышла за пределы особняков богатых и знатных людей и стала исполняться в концертных залах, где мы слушаем ее и в наши дни. Кабалевский, Про трех китов и про многое другое.

    || трад.-поэт. Край, страна.

    А князь тем ядом напитал Свои послушливые стрелы И с ними гибель разослал К соседям в чуждые пределы. Пушкин, Анчар.

    Я помню, как солнце горело, на зимний взойдя небосвод, когда из далеких пределов в Москву прилетел самолет. Смеляков, Памяти Димитрова.

    ||

    Промежуток времени, ограниченный какими-л. сроками (обычно в сочетании в пределах).

    Говорят, что в Оренбург ездят по чугунке, и, может быть, я поеду, но все в пределах 14 дней. Л. Толстой, Письмо С. А. Толстой, 4 сент. 1876.

    3. обычно мн. ч. (преде́лы, -ов) перен.

    Мера, граница чего-л.; рамки.

    В пределах приличия.

    Наконец, всякому терпению

    есть же пределы. Писарев, Посмертные стихотворения Гейне.

    — Пока что я не выхожу за пределы предоставленных мне законом прав командующего флотом. Степанов, Порт-Артур.

    Познания о прошлом своего отечества у Федора Андреевича были весьма скромны, в основном, в пределах «краткого курса». Е. Носов, Не имей десять рублей.

    ||

    Высшая степень чего-л.

    Предел мечтаний.

    Силы людей, физические и моральные, были доведены до предела изнеможения. В. Кожевников, Парашютист.

    Страна моя, прекрасен твой порыв Во всем достичь последнего предела! Винокуров, «Интернационал».

    4. мат.

    Постоянная величина, к которой приближается переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определенном изменении последней.

    Предел числовой последовательности.

    на пределе

    1) в крайней степени напряжения.

    Нервы на пределе;

    2) в крайней степени раздражения.

    [Галя:] Я сама его боюсь сегодня. Он на пределе. Погодин, Цветы живые.

  11. Источник: Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.



  12. Толковый словарь Ушакова

    ПРЕДЕ́Л, предела, муж. (книжн.).

    1. только мн. Граница, черта, разделяющая между собою земли, государства; рубеж. Выйти за пределы города. Обозначить на карте пределы области.

    || Местность, пространство, заключенное в каких-нибудь границах; область. В пределах страны.

    || перен. Промежуток времени, включенный в какой-нибудь срок, ограниченный какими-нибудь сроками. В пределах двух-трех месяцев.

    2. Страна, край (поэт. устар.). «Покинул он родной предел и в край далекий полетел.» Пушкин. «Хоть бесчувственному телу равно повсюду истлевать, но ближе к милому пределу мне всё б хотелось почивать.» Пушкин. «Ненароком в твои пределы загляну.» Некрасов.

    3. Последняя, крайняя степень, грань чего-нибудь. Предел упругости. Предел человеческой жизни. Предел высоты. Предел нагрузки. «Грудные мускулы развиты до предела.» Шолохов.

    || перен. Мера, норма, граница чего-нибудь. Перейти пределы дозволенного.

    4. перен. Последняя, высшая ступень, верх чего-нибудь, идеал, мыслимая полнота чего-нибудь. Предел желаний. Предел совершенства.

  13. Источник: Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935-1940.



  14. Толковый словарь Ефремовой

    I

    м.

    1.

    Граница, черта, разделяющая между собою земли, государства; рубеж.

    2.

    устар.

    Край, страна.

    3.

    Последняя, крайняя степень, грань чего-либо.

    отт. перен. Мера, норма, граница чего-либо; критическая точка чего-либо, характеризующая возможность проявления каких-либо свойств, качеств.

    4.

    перен.

    Последняя, высшая ступень, верх чего-либо; идеал.

    II

    м.

    Постоянная величина, к которой неограниченно приближается переменная величина, причем разность между ними стремится к нулю (в математике).

  15. Источник: Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000.



  16. Большой энциклопедический словарь

    ПРЕДЕЛ последовательности действительных чисел a1 - a2, ..., an, ..., число a, обладающее тем свойством, что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от a как угодно мало (запись:). Напр., предел последовательностиНе всякая последовательность имеет предел. Для функции f(x) пределом при х, стремящемся к х0, называют такое число А, что f(x) как угодно мало разнится от А при х, достаточно близком к х0 (запись: ). Теория предела лежит в основе математического анализа.

  17. Источник: Большой Энциклопедический словарь. 2000.



  18. Большой англо-русский и русско-английский словарь

    муж.
    1) limit, bound(ary);
    border;
    end;
    precincts мн. положить предел ≈ (чему-л.) to put an end (to);
    to terminate ставить предел ≈ to limit возрастной предел ≈ age limit
    2) мн. пределы bounds;
    range ед.;
    pale;
    (возможностей, знаний и т. п.) scope в пределах ≈ (чего-л.) within, within the limits (of), within the bounds (of) за пределами ≈ (чего-л.) outside, beyond the bounds (of) ∙ в пределах досягаемости ≈ within striking distance в пределах года ≈ within the year предел желаний ≈ summit/pinnacle of one's desires предел прочности ≈ breaking point в разумных пределах ≈ within reasonable limits до предела ≈ utterly, exceedingly, to the highest degree на пределе ≈ at the breaking pointм.
    1. (граница) limit;
    в ~ах города within the city limits;
    в ~аx страны within the country;
    выехать за ~ы страны leave* the country;
    ~ задолженности фин. debt limit;
    ~ суммы займа фин. loan size limit;
    ~ы рабочего дня limits of working day;
    установленный ~ государственной задолженности фин. national debt limit;
    ~ изменения курсов ценных бумаг бирж. price limit;

    2. мн. (промежуток времени): в ~ах трёх месяцев within three months;

    3. мн. (границы, рамки дозволенного) bounds pl.;
    в ~ах возможного within the bounds of possibility;
    в ~ах учтивости within the bounds of politeness;

    4. (последняя степень чего-л.) limit;
    ~ высоты maximum height;
    ~ прочности (ultimate) strength;
    ~ скорости speed limit;
    всему есть ~ there is a limit to everything;

    5. (высшая ступень чего-л.) height, acme, summit;
    ~ совершенства acme of perfection;
    ~ желаний summit of one`s desires;

    6. мат. limit.

  19. Источник: Большой англо-русский и русско-английский словарь



  20. Англо-русский словарь технических терминов

    bound, boundary, end матем., extreme, limit, limitation,(рабочего режима) margin, tether, threshold

  21. Источник: Англо-русский словарь технических терминов



  22. Русско-английский словарь математических терминов

    m.limit, bound; предел текучести, yield point, yield stress

  23. Источник: Русско-английский словарь математических терминов



  24. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь

    м

    1)(граница) Grenze f

    в пределах России — innerhalb der Grenzen Rußlands

    за пределами страны — außerhalb der Landesgrenzen

    2)перен. Grenze f, Schranke f

    всему есть предел — alles hat seine Grenzen

    в пределах года — innerhalb ( im Laufe ) eines Jahres

    3)(крайняя степень)

    это предел моих желаний — mehr kann ich gar nicht wünschen

    4)мат. Limes m неизм.; Grenzwert m

  25. Источник: Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь



  26. Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь

    предел м 1. (граница) Grenze f c в пределах России innerhalb der Grenzen Rußlands за пределами страны außerhalb der Landesgrenzen 2. перен. Grenze f, Schranke f c всему есть предел alles hat seine Grenzen в пределах года innerhalb ( im Laufe] eines Jahres 3. (крайняя степень): это предел моих желаний mehr kann ich gar nicht wünschen 4. мат. Limes m неизм.; Grenzwert m 1

  27. Источник: Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь



  28. Большой французско-русский и русско-французский словарь

    м.

    1)(граница; рубеж) limite f; bornes f pl

    в пределах России — sur le territoire de la Russie

    за пределами чего-либо — en dehors de qch

    2)перен. terme m, fin f(конец); limite f(граница)

    предел совершенства — summum m de la perfection

    предел скорости — limite de la vitesse

    предел желаний — limite des désires

    этому надо положить предел — il faut mettre fin à cela, il faut mettre un terme à tout cela

    всему есть предел — tout doit avoir ses limites

    в пределах компетентности — dans la limite des compétences; il y a une limite à tout

    выйти из пределов чего-либо — sortir vi (ê.) des bornes de qch

    вне пределов досягаемости — hors d'atteinte

    в пределах двух месяцев — dans les deux mois

    3)перен.(верх чего-либо) comble m

    предел счастья — comble du bonheur

    4)мат. limite f

    5)(страна, край) уст. contrée f, pays m

  29. Источник: Большой французско-русский и русско-французский словарь



  30. Большой испано-русский и русско-испанский словарь

    м.

    1)(рубеж) límite m, confín m, linde m

    в преде́лах России — en los confines de Rusia

    в преде́лах городско́й черты́ — dentro de los límites de la ciudad

    2)(крайняя степень) fin m, término m; límite(s) m(pl)(граница)

    преде́л сча́стья — el colmo de la felicidad

    преде́л соверше́нства — el colmo (el non plus ultra) de la perfección

    преде́л мечта́ний — el colmo de los sueños

    преде́л про́чности спец. — límite de rotura(при разрыве); límite de compresión(при сжатии); límite de resistencia a la tracción(при растяжении)

    положи́ть преде́л (чему-либо) — poner término (a), poner fin (coto) (a)

    всему́ есть преде́л — todo tiene sus límites

    в преде́лах чего́-либо — dentro de los límites de algo

    в преде́лах досяга́емости — dentro del alcance

    вне преде́лов (за преде́лами) чего́-либо — fuera de los límites de algo

    вы́йти за преде́лы — pasar de la raya

    3)мат. límite m

    4)уст.(страна, край) país m, tierra f

  31. Источник: Большой испано-русский и русско-испанский словарь



  32. Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь

    м.

    1)(рубеж) confine, limite

    за пределами чего-л. — fuori / al di là dei confini di qc

    в пределах чего-л. — entro i confini di qc

    2) перен. мн. пределы(границы, рамки) limiti m pl

    в пределах возможного — nei limiti del possibile

    выходить за пределы (чего-л.) — uscire dai limiti; esorbitare vi(a) (da qc) книжн.; sforare vt

    не выходить за пределы — tenersi / stare nei limiti

    в пределах... — entro...

    быть вне пределов досягаемости — essere inaccessibile

    3) спец. физ. soglia f, limite

    4)(конец) termine, fine; limite

    положить предел (чему-л.) — porre un limite / termine (a qc)

    всему есть предел — c'è un limite a tutto

    5)(высшая степень) colmo, apice

    предел счастья — il colmo della felicitè

    это предел мечтаний — è più di quanto si possa sognare

  33. Источник: Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь



  34. Латинско-русский и русско-латинский словарь крылатых слов и выражений

    = Крайний предел

  35. Источник: Латинско-русский и русско-латинский словарь крылатых слов и выражений



  36. Научно-технический энциклопедический словарь

    ПРЕДЕЛ, в математике - значение или значения, к которым приближаются значения последовательного ряда чисел. Предел математического РЯДА - это значение, к которому приближается сумма, величина которой тем больше, чем больше чисел включены в него. Понятие предела - основное для дифференциальных и интегральных ИСЧИСЛЕНИЙ. см. также СХОДИМОСТЬ.

  37. Источник: Научно-технический энциклопедический словарь



  38. Русско-китайский словарь: пресса, интернет, радио, телевидение

    边界, 限度

  39. Источник: Русско-китайский словарь: пресса, интернет, радио, телевидение



  40. Энциклопедический словарь

    ПРЕДЕ́Л -а; м.

    1. Край, конечная часть чего-л. П. полей, лесов. Раскинулась степь без конца и предела. Кажется, нет предела пустыни. П. жизни (кончина, смерть).

    2. обычно мн.: преде́лы, -ов. Естественная или условная черта, являющаяся границей какой-л. территории; рубеж. Раздвинуть пределы земельного участка. Оказаться за пределами страны, отечества. Не выезжал за пределы своего государства. // чего или какие. Местность, пространство, заключённые в какие-л. границы. Лесные, заповедные пределы. Ограничен пределами комнаты. Находиться в пределах города, области. // Трад.-поэт. Край, страна. Покинуть родные пределы. Опустошить чужие пределы. Из далёких пределов кто-л.

    3. только ед. Разг. Участь, судьба, удел. Такой уж п. ему был - умереть на чужбине. Видно, мне такой п. положен.

    4. обычно мн.: преде́лы, -ов. Граница, рамки чего-л. принятого, установленного, дозволенного. Выйти за пределы допустимого. Выйти из пределов. Пределы власти. Пределы коммерческих операций. Держаться в пределах приличия. Положить, поставить п. чему-л. (прекратить, приостановить что-л.).

    5. Последняя, крайняя степень чего-л. Последний, крайний п. П. терпению, жестокости. Дойти до предела нищеты. Возмущение дошло до высшего предела. Всему есть п. Нет предела моей благодарности. Любовь матери не знает пределов. Силы людей доведены до предела. П. мечтаний, счастья, желаний. П. совершенства. // Спец. Критическая точка, характеризующая возможность проявления каких-л. свойств, качеств. П. прочности. П. выносливости. П. упругости.

    6. Оптимальная мера, норма чего-л. П. температуры плавления. П. жизни деревьев. П. скорости.

    7. Матем. Постоянная величина, к которой приближается переменная величина, зависящая от другой переменной величины, при определённом изменении последней. П. числовой последовательности. Понятие о пределе. Теория пределов.

    На преде́ле.

    I. в зн. нареч. В крайней степени напряжения. Работать на пределе.

    II. в функц. сказ. В крайней степени раздражения. Кто-л. на пределе. Нервы на пределе.

    * * *

    преде́л

    последовательности действительных чисел a1, a2,..., an,..., число а, обладающее тем свойством, что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от а как угодно мало (запись: ). Например, предел последовательностиесть 1, .Не всякая последовательность имеет предел. Для функции f(х) пределом при х, стремящемся к х0, называется такое число А, что f(х) как угодно мало разнится от А при х, достаточно близком к х0 (запись ). Теория предела лежит в основе математического анализа.

    * * *

    ПРЕДЕЛ

    ПРЕДЕ́Л последовательности действительных чисел a1, a2,..., an,..., число a, обладающее тем свойством, что все члены an последовательности с достаточно большим номером n разнятся от a как угодно мало (запись:). Напр., предел последовательности

    Не всякая последовательность имеет предел. Для функции f(x) пределом при х, стремящемся к х0, называют такое число А, что f(x) как угодно мало разнится от А при х, достаточно близком к х0 (запись: ). Теория предела лежит в основе математического анализа.

  41. Источник: Энциклопедический словарь



  42. Математическая энциклопедия

    - одно из основных понятий математики, означающее, что какая-то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к нек-рому постоянному значению. Основным при определении П. является понятие близости рассматриваемых объектов: только после его введения П. приобретает точный смысл. С П. связаны основные понятия математич. анализа: непрерывность, производная, дифференциал, интеграл. Одним из простейших случаев П. является П. последовательности.

    Предел последовательности. Пусть X - топологич. пространство. Последовательность его точек х n, n=1, 2,..., наз. сходящейся к точке или, что то же самое, точка х 0 наз. пределом данной последовательности, если для любой окрестности Uточки х 0 существует такое натуральное N, что для всех n>N выполняется включение ; при этом пишут

    В случае, когда X - хаусдорфово пространство, П. последовательности , если он существует, единствен. Для метрич. пространства Xточка х 0 является П. последовательности n} тогда и только тогда, когда для любого e>0 существует такое натуральное N, что для всех номеров n>N выполняется неравенство r(xn, x0)<e, где r( х п, х 0) - расстояние между точками х п и х 0. Если последовательность точек метрич. пространства сходится, то она ограничена. Последовательность точек полного метрич. пространства является сходящейся в том и только в том случае, когда она фундаментальная. В частности, это верно для числовых последовательностей, для к-рых исторически впервые возникло понятие П. последовательности. Для числовых последовательностей справедливы формулы

    с - произвольное фиксированное число,

    а если то

    Эти свойства числовых последовательностей переносятся на П. последовательностей более общих структур, напр, свойство П. суммы - на последовательности точек линейных топологич. пространств, свойства П. произведения - на последовательности точек топологич. групп и т. д.

    Если действительные числовые последовательности и сходятся и , n=1, 2,..., то

    т. е. при предельных переходах нестрогие неравенства сохраняются. Если

    и , то последовательность zn, n=l, 2,..., сходится к тому же П.: . Эти свойства обобщаются на П. последовательностей точек упорядоченных множеств.

    Всякая возрастающая (убывающая) последовательность действительных чисел х п, т. е. такая, что х п х п+1 (соответственно х п х n+1), n=1, 2,..., ограниченная сверху (снизу), сходится, и ее П. является верхняя (нижняя) грань множества ее значений. Напр., если а>0, k - натуральное число, а п - приближенное значение корня с пдесятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то а п, п=1,2,..., образуют возрастающую последовательность и Другим примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность периметров правильных многоугольников с псторонами, n=3, 4,..., вписанных в нек-рую окружность, к длине к-рой и сходится эта последовательность.

    Особую роль в теории числовых последовательностей играют бесконечно малые последовательности, т. <е. последовательности, сходящиеся к нулю. Общее понятие П. числовой последовательности сводится к понятию бесконечно малой в том смысле, что числовая последовательность сходится к нек-рому числу в том и только в том случае, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью.

    Полезным является и понятие бесконечно больших числовых последовательностей, т. е. последовательностей, имеющих своим П. либо одну из бесконечностей со знаком или , либо бесконечность без знака . Для определения бесконечных П. вводятся понятия e-окрестностей, e>0, бесконечностей , и в множестве действительных чисел по формулам

    н понятие e-окрестности в множестве комплексных чисел :

    Пишут

    (соответственно или ), n=1, 2,..., если для любого e>0 существует такой номер N, что для всех номеров n>N выполняется включение (соответственно включение или ). Аналогично определяется бесконечный П. для последовательностей комплексных чисел.

    Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (см. Болъцано- Вейерштрасса теорема), а из всякой неограниченной - бесконечно большую.

    П. (конечный или бесконечный) какой-либо подпоследовательности данной последовательности наз. частичным пределом последней. В множестве всех частичных П. всякой последовательности действительных чисел всегда имеются как наибольший, так и наименьший (конечные или бесконечные). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности наз. ее верхним (соответственно нижним) пределом. Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда ее верхний П. совпадает с нижним, причем их общее значение и является П.

    С помощью П. последовательности могут быть определены другие понятия П., напр. П. функции и П. интегральных сумм. Определение П. последовательностей обобщается на случай направленных (частично упорядоченных) множеств.

    Предел функции (отображения). Пусть Xи Y - топологич. пространства, Е X, х 0 - точка прикосновения множества E, f: Е Y - отображение Ев Y. Точку наз. пределом отображения f в точке х 0 (или, как говорят, при х, стремящемся к х 0).и пишут

    или при ,

    если, какова бы ни была окрестность V=V(a).точки а в Y, существует такая окрестность U=U(x0).точки х 0 в X, что для любой точки ее образ f(х).принадлежит . Иначе говоря, если Если Y - хаусдорфово пространство, то отображение

    может иметь только один П. в точке . В случае, когда и х 0 - точка прикосновения множества Е*, то П. сужения fE* отображения f на множестве Е* наз. П. отображения (функции) f по множеству Е*, при этом пишут

    Если х 0- точка прикосновения множества Е* к существует , то в точке х 0 существует и предел f по множеству Е*, причем

    Если и существуют

    то существует и

    При рассмотрении П. отображения (функции) f: Е Y, ЕX, при может случиться, что или, наоборот, . Случай представляет специальный интерес, т. к. он приводит к понятию непрерывной функции: если и , то для того, чтобы отображение f имело П. в точке х 0, необходимо и достаточно, чтобы

    В случае выполнения этого условия отображение f и наз. непрерывным в точке х 0. Если точка x0 является изолированной точкой множества Е, то в ней всегда существует предел

    для любого отображения f: Е Y, т. о. любое отображение f непрерывно во всех изолированных точках множества своего определения. Поэтому понятие П. отображения, в частности его непрерывности, содержательно лишь для предельных точек отображаемого множества. В классич. случае П. функций f: Е Y обычно предполагается, что , т. <е. что точка х 0 не принадлежит тому множеству, по к-рому берется П.

    Если в точке для пространства Xвыполняется первая аксиома счетности, а пространство Y - хаусдорфово, то для того, чтобы существовал предел отображения , необходимо и достаточно, чтобы для лк бой последовательности , n = 1, 2,...,, существовал предел . При выполнении этого условия предел не зависит от выбора указанной последовательности п} и их общее значение является П. отображения f в точке х 0.

    Предел последовательности точек {yn} топологич. пространства Yявляется частным случаем П. отображения (функции): в этом случае Е= - множество натуральных чисел, рассматриваемых с дискретной топологией, , окрестностью в X является любое подмножество вида , где n0 - нек-рое натуральное число.

    Понятие предела кратной последовательности, т. е. последовательности, члены к-рой снабжены целочисленными мультииндексами, также является частным случаем П. отображения.

    Внутренний критерий существования П. отображения f: Е Y в данной точке х 0 (он наз. критерием Коши) в случае, когда в точке х 0 топологич. пространства выполняется первая аксиома счетности, а множество Y является полным метрич. пространством, состоит в том, что предел существует тогда и только тогда, когда для любого e>0 найдется такая окрестность U=U( х 0).точки х 0 в X, что для всех точек х' и х ", удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . В частности, этот критерий справедлив, когда Yявляется множеством действительных или комплексных чисел.

    Некоторые свойства пределов. Если Y - метрич. пространство, , и существует предел , то найдется такая окрестность U=U(x0). точки х 0, что при отображении f образ пересечения отображаемого множества Ес этой окрестностью будет ограниченным подмножеством пространства Y.

    Если функция -множество действительных чисел, имеет в точке не равный нулю конечный П., то существуют такие окрестность U=U(x0). точки х 0 и число с>0, что для всех точек выполняются неравенства f(х).> с, если f(х).< - с, если

    Если Y - топологич. группа (в частности, коммутативная с аддитивной записью групповой операции), , то предел существует тогда и только тогда, когда функция a(x)=-f(x)a-1 имеет в точке x0 предел, равный единице группы Y (соответственно функция a(x)=f(x) имеет П. в х a, равный нулю,- такие функции наз. бесконечно малыми функциями).

    Если Y - линейное топологич. пространство над полем то П. в точке x0 линейной комбинации отображений f1 и f2 равен такой же линейной комбинации их П. в той же точке:

    Если Y - множество действительных или комплексных чисел, (такие функции наз. числовыми), , то

    а если , то

    причем в этом случае под понимается П. сужения функции на пересечение отображаемого множества Ес нек-рой окрестностью точки х 0 такой, что на указанном пересечении имеет смысл частное . Если , и существуют пределы,

    , то .

    Если Xи Yполучены из множества действительных чисел пополнением его либо бесконечностью без знака: , либо двумя бесконечностями со знаком:

    , то сформулированное определение П. функции является классич. определением конечного и бесконечного П. действительной функции одного переменного. Аналогично, если пространства Xи Yполучаются пополнением бесконечностью множества комплексных чисел , то получают определение П. (конечного и бесконечного) для функций комплексного переменного. Если же пространство X получается пополнением бесконечностью пространства (соответственно ), n>1, то получают определение конечного и бесконечного П. функции многих переменных при стремлении аргумента к конечной или бесконечно удаленной точке.

    Для функций, определенных на подмножествах числовой прямой (или, более общо, на упорядоченных множествах), существует понятие одностороннего предела. Примером функций, имеющих по крайней мере один односторонний П. во всех предельных точках области определения, являются действительные монотонные функции: если функция f монотонна на множестве Ечисловой оси и точка x0 является предельной точкой множества Е, то она является и предельной точкой хотя бы одного из множеств Е 1{: x<а}, Е 2{: х>а}. Если точка х 0 предельная для множества E1 то у функции f в точке х 0 существует П. слева, а если она предельная для Е 2, то справа. При этом если, напр., функция f возрастает и ограничена сверху, , х 0 - предельная точка для множества E1, то предел конечен.

    Основным общим методом отыскания П. функций является метод выделения главных частей функций в окрестности данной точки, что обычно делается с помощью Тейлора формулы. Для вычисления П. часто бывает полезно Лопиталя правило.

    Несмотря на большую общность понятия П. отображения, оно не охватывает все существующие понятия П., имеющиеся в современной математике. Напр., понятие П. интегральных сумм не содержится в понятии

    П. отображения (функции). Достаточно общим понятием П., в определенном смысле охватывающим все основные случаи, является П. отображения по фильтру.

    Предел фильтра. Пусть X - топологии, пространство, - его база топологии, - фильтр на X(т. е. такое непустое семейство непустых подмножеств пространства X, что для любых существует такое , что ). Точка х 0 наз. пределом фильтра или его.предельной точкой, если фильтр сильнее фильтра , являющегося локальной базой топологии в точке х 0, т. е. для любого существует такое , что

    Пусть - множество натуральных чисел с дискретной топологией. Фильтр на множестве , состоящий из всевозможных дополнений к конечным подмножествам множества , наз. натуральным фильтром и обозначается . Он не имеет П. в . Тот же фильтр на множестве , в к-ром локальная база состоит из всевозможных множеств , а при - из одной точки n, имеет своим П. бесконечность . Единственность П. фильтра топологич. пространства связана с отделимостью точек пространства: для того чтобы любой фильтр топологич. пространства имел не более одного П., необходимо и достаточно, чтобы пространство было хаусдорфово.

    Пусть X - нек-рое множество, Y - топологич. пространство, j - отображение Xв Y, - фильтр на X. Точку наз. пределом отображения Ф по фильтру и пишут

    если фильтр , состоящий из всевозможных множеств Х, имеет своим П. в пространстве Yточку b.

    Если Х~ - множество натуральных чисел, j - отображение в топологич. пространство Y,j(n)= - натуральный фильтр, то П. отображения ф по фильтру в пространстве Yсовпадает с обычным П. последовательности п} в Y.

    Если в - фильтр на X, являющийся произведением двух натуральных фильтров , т. е. состоящий из всевозможных множеств вида , где - отображение в топологич. пространство , то П. отображения j по фильтру в пространстве Y совпадает с обычным П. двойной последовательности пт} в Y. Пусть элементами множества Xявляются, в свою очередь, множества х, состоящие из какого-либо разбиения нек-рого отрезка [ а, b]; a=t0<t1<...<tn-1<tn=b и каких-то точек , i=1,2,..., то есть

    х = {t,x1,..., xn).

    Пусть А h (для любого h>0) - подмножество множества X, состоящее из всех элементов , у к-рых мелкости входящих в них разбиений меньше h, то есть

    Система является фильтром. Всякая действительная функция f, определенная на отрезке [ а, b], порождает отображение jf множества Xв числовую ось по формуле

    Таким образом, jf (х). является значением интегральной суммы Римана функции f, соответствующим элементу П. отображения jf в по фильтру совпадает с обычным П. интегральных сумм Римана функции fпри условии, что мелкости рассматриваемых разбиений стремятся к нулю. Это совпадение имеет место в том смысле, что оба П. одновременно существуют или нет, а если существуют, то равны и являются значениями интеграла Римана от функции f по отрезку [ а, b].

    Предел отображения топологических пространств по фильтру. Пусть Xи Y - топологич. пространства, - фильтр на E, j - отображение Ев Y. Точку наз. пределом отображения j в точке по фильтру , если о является П. фильтра , а bявляется П. фильтра . В этом случае пишут,

    Если - база окрестностей в точке а, Е=Х{а}, а фильтр состоит из всевозможных "проколотых окрестностей" U(а){а} точки , то предел совпадает с обычным пределом отображения ф в точке а, то есть обобщает классическое определение П. отображения, сформулированное в терминах окрестностей. Непосредственным обобщением понятия П. последовательности является П. направленного множества в топологическом пространстве, т. е. такого частично упорядоченного множества, у к-рого за каждыми двумя элементами имеется следующий. В терминах П. по направленным множествам можно также сформулировать понятие П. отображения одного топологич. пространства в другое (см. Направленность, Сходимость).

    Предел последовательности множеств. Топологический предел. Пусть А п, п=1, 2,...,- множества топологич. пространства X. Верхним топологическим пределом последовательности n} наз. множество точек , каждая окрестность к-рых пересекается с бесконечным числом множеств А п, а нижним топологическим пределом - множество точек, каждая окрестность к-рых содержит точки почти всех А п. Очевидно, . Если А , то последовательность п} наз. сходящейся, а множество Аее топологическим П. и пишут A = It А п. Верхний и нижний топологические П. последовательности являются замкнутыми множествами.

    Теоретико-множественный предел. Имеется понятие П. последовательности множеств, не связанное с топологией. Последовательность множеств А п, n=1, 2,..., наз. сходящейся, если существует такое множество А, называемое ее пределом и обозначаемое

    А=liт А n,

    что каждая его точка принадлежит всем множествам А п, начиная с нек-рого номера, и каждая точка из объединения всех множеств А п, не принадлежащая А, содержится лишь в конечном числе множеств А п. Множество Аявляется П. последовательности { А п}тогда и только тогда, когда оно является одновременно ее верхним и нижним пределом.

    Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X., Математический анализ, М., 1979; [3] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 1-2, М., 1981; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; 15] Бурбаки Н., Общая топологи". Основные структуры, пер.

    о франц., 2 изд., М., 1958; [6] Замайский М., Введение в современную алгебру и анализ, пер. с франц., М., 1974; Е7] Келли Д ж. Д., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981; t8] X а у с д о р ф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937. Л. <Д. <Кудрявцев.

  43. Источник: Математическая энциклопедия



  44. Большой энциклопедический политехнический словарь

    последовательности действительных чисел а1, a2,.... ап,... - число а, обладающее тем св-вом, что все члены последовательности с достаточно большим номером п разнятся от а как угодно мало:

    Не всякая последовательность имеет П. Для ф-ции f(x) при х, стремящемся к х0, П наз. такое число А. что f(x) как угодно малс разнится от А при х, достаточно близком к х0:

    Теория П. лежит в основе матем. анализа.

  45. Источник: Большой энциклопедический политехнический словарь



  46. Большая политехническая энциклопедия

    ПРЕДЕЛ — (1) в измерениях — наибольшее (наименьшее)

    значение величины, которое может быть измерено конкретным прибором; (2) П. в сопротивлении материалов — название ряда механических характеристик, соответствующих определённым нагрузкам и деформациям (см.) на отдельных участках и в отдельных точках диаграммы растяжения (см.), обозначается σ (с индексом соответствующей деформации). Различают: а) П. выносливости — наибольшее напряжение цикла, которое материал может выдержать повторно без разрушения N раз, где N — заданное техническими условиями большое число (напр. ΙΟ6, ΙΟ7, 109); б) П. ползучести — сравнительная оценка технических материалов, подвергаемых непрерывной медленной пластичной деформации под воздействием постоянной статической нагрузки или механического напряжения, при которых за данное время при определённой температуре достигается деформация определенного значения; в) П. пропорциональности — максимальное напряжение, при котором материал ещё подчиняется закону Гука (Гука закону). За П. пропорциональности напряжение перестаёт быть пропорциональным относительному удлинению; до некоторого напряжения после снятия нагрузки размеры и форма тела восстанавливаются полностью. При практических расчётах прочности П. пропорциональности принимают равным пределу текучести (см.); г) П. прочности (временное сопротивление) — напряжения или деформации, соответствующие максимальному (до разрушения образца) значению нагрузки; является основной характеристикой прочности. Значение П. прочности зависит как от свойств самого материала, так и от внешних условий (температуры, аэро- или гидростатических давлений, наличия агрессивных сред и др.), а также от требований, предъявляемых к конструкции; д) П. текучести — напряжение, при котором начинает развиваться пластическая деформация; устанавливает границу между упругой и упругопластичной зонами деформирования. Материалы, у которых область текучести значительна, могут без разрушения выдерживать большие деформации. Если же область текучести у материала почти отсутствует, он без разрушения сможет выдержать лишь небольшие деформации. Такие материалы называют хрупкими; е) П. упругости — напряжение, при котором остаточные деформации впервые достигают некоторого значения, характеризуемого определённым допуском, устанавливаемым техническими условиями (напр. 0,03%). На диаграмме область растяжения располагается за пределом пропорциональности (см.) и при практических расчётах принимается равной пределу текучести (см.).

  47. Источник: Большая политехническая энциклопедия



  48. Русско-английский политехнический словарь

    bound, boundary, end матем., extreme, limit, limitation,(рабочего режима) margin, tether, threshold

    * * *

    преде́л м.

    limit; (ограничение) bound; (граница) boundary

    в преде́ле, напр. больши́х систе́м — in the limit of, e. g., large systems

    в широ́ких преде́лах — over a wide range

    вы́йти за преде́лы — fall outside the limits

    (находи́ться) в преде́лах оши́бки о́пыта — (be, lie) within the (limits of) experimental error

    переходи́ть к преде́лу мат. — pass [proceed] to the limit

    сверх преде́ла — beyond the limit

    преде́л сле́ва мат. — limit on the left, left-hand limit

    преде́л спра́ва мат. — limit on the right, right-hand limit

    стреми́ться к преде́лу — tend to the limit

    устана́вливать преде́л (для) чего-л. — set a limit to …

    вероя́тностный преде́л — probability limit

    ве́рхний преде́л

    1. upper [superior] limit, limit superior

    2. complete limit (of a sequence of sets )

    преде́л ви́димости — visibility range

    в преде́лах ви́димости — within sight

    вне преде́лов ви́димости — out of sight

    преде́л воспламене́ния — explosive range

    преде́л воспламене́ния, ве́рхний — upper limit of the explosive range

    преде́л воспламене́ния, ни́жний — lower limit of the explosive range

    преде́л выно́сливости — fatigue [endurance] limit, fatigue range

    преде́л де́йствия — range of action

    находи́ться в преде́лах де́йствия — be within range of action

    преде́л дли́тельной про́чности — long-term strength

    довери́тельный преде́л мат. — confidence limit

    преде́л до́пуска — tolerance limit

    преде́л измере́ния прибо́ра — (нормативное значение) upper limit of the (instrument) range; (обиходное значение) range of the instrument

    растя́гивать преде́л измере́ния прибо́ра — expand the scale (of an instrument)

    расширя́ть преде́л измере́ния прибо́ра — extend the range (of an instrument)

    преде́л насыще́ния — saturation point

    ни́жний преде́л — lower [inferior] limit

    преде́л обнаруже́ния — threshold of detectability, detection limit

    преде́л пласти́чности — plastic limit

    преде́л ползу́чести — creep strength, creep limit

    преде́л пропорциона́льности — proportional limit, limit of proportionality

    преде́л про́чности — ultimate strength

    преде́л про́чности при изги́бе — bending strength

    преде́л про́чности при круче́нии — torsional strength

    преде́л про́чности при растяже́нии — tensile strength

    преде́л про́чности при сдви́ге — shear strength

    преде́л про́чности при сжа́тии — compression [compressive] strength

    преде́л про́чности, теорети́ческий — ultimate strength

    преде́л про́чности, техни́ческий — proof strength

    преде́л регули́рования — control limit

    преде́л слы́шимости — limit of audibility

    преде́л теку́чести — yield point; yield strength

    преде́л упру́гости — limit of elasticity

    преде́л уста́лости — endurance [fatigue] limit

    преде́л усто́йчивости — stability limit

    преде́л фази́рования (в фототелеграфии и буквопечатающей телеграфии) — orientation range

    * * *

    limit

  49. Источник: Русско-английский политехнический словарь



  50. Dictionnaire technique russo-italien

    м.

    limite m

    - предел безопасности

    - верхний предел

    - предел взрывоопасности

    - предел видимости

    - временной предел

    - предел выносливости

    - предел вязкости

    - предел диссоциации

    - дифракционный предел

    - предел допуска

    - допустимый предел

    - предел достоверности

    - предел измерения

    - предел износа

    - предел интегрирования

    - истинный предел

    - предел коррозионной усталости

    - левый предел

    - предел мощности

    - предел нагрузки

    - предел насыщения

    - нижний предел

    - обобщённый предел

    - предел объёма памяти

    - определённый предел

    - предел отклонения

    - предел перегрузки

    - предел пластичности

    - предел поглощения

    - предел погрешности

    - предел ползучести

    - предел последовательности

    - правый предел

    - предел пропорциональности

    - предел прочности

    - предел прочности на изгиб

    - предел прочности на разрыв

    - предел прочности на растяжение

    - предел прочности на сжатие

    - предел прочности на срез

    - предел прочности при кручении

    - предел разрешения

    - предел растворимости

    - предел регулирования

    - предел скорости

    - предел слева

    - предел слышимости

    - предел справа

    - предел текучести

    - температурный предел

    - предел упругости

    - условный предел

    - предел усталости

    - предел функции

    - предел числа оборотов

    - предел чувствительности

  51. Источник: Dictionnaire technique russo-italien



  52. Русско-украинский политехнический словарь

    1) матем.(черта) грани́ця

    - бесконечный предел

    - внешний предел

    - доверительный предел

    - конечный предел

    - левый предел

    - наибольший предел

    - наименьший предел

    - несобственный предел

    - обобщённый предел

    - обратный предел

    - односторонний предел

    - определённый предел

    - повторный предел

    - предел выносливости

    - предел на множестве

    - предел отношений

    - предел переменной

    - предел пластичности

    - предел последовательности

    - предел разности

    - предел функции

    - сильный предел

    - слабый предел

    - толерантный предел

    - точный предел

    - частный предел

    2) астр., матем., техн., физ.(рубеж, грань, межа) межа́

    - верхний предел

    - допустимый предел

    - предел видимости

    - предел значимости

    - предел измерения

    - предел континуума

    - предел ошибки

    - предел погрешности

    - предел ползучести

    - предел прочности

    - предел различимости

    - предел разрешения

    - предел чуствительности

    - пределы интегрирования


    - нижний предел

  53. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  54. Русско-украинский политехнический словарь

    1) матем.(черта) грани́ця

    - бесконечный предел

    - внешний предел

    - доверительный предел

    - конечный предел

    - левый предел

    - наибольший предел

    - наименьший предел

    - несобственный предел

    - обобщённый предел

    - обратный предел

    - односторонний предел

    - определённый предел

    - повторный предел

    - предел выносливости

    - предел на множестве

    - предел отношений

    - предел переменной

    - предел пластичности

    - предел последовательности

    - предел разности

    - предел функции

    - сильный предел

    - слабый предел

    - толерантный предел

    - точный предел

    - частный предел

    2) астр., матем., техн., физ.(рубеж, грань, межа) межа́

    - верхний предел

    - допустимый предел

    - предел видимости

    - предел значимости

    - предел измерения

    - предел континуума

    - предел ошибки

    - предел погрешности

    - предел ползучести

    - предел прочности

    - предел различимости

    - предел разрешения

    - предел чуствительности

    - пределы интегрирования


    - нижний предел

  55. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  56. Естествознание. Энциклопедический словарь

    последовательности действительных чисел а1, а2,..., ап,..., число а, обладающее тем свойством, что все члены аn последовательности с достаточно большим номером п разнятся от а как угодно мало (запись: limn->оо an = a). Напр., П. последовательности

    Не всякая последовательность имеет П. Для функции f(x) пределом при х, стремящимся к х0, наз. такое число А, что f(x) как угодно мало разнится от А при х, достаточно близком к х0 (запись limx->x0 f(x) = А). Теория П. лежит в основе матем. анализа

    Не всякая последовательность имеет П. Для функции f(x) пределом при х, стремящимся к х0, наз. такое число А, что f(x) как угодно мало разнится от А при х, достаточно близком к х0 (запись limx->x0 f(x) = А). Теория П. лежит в основе матем. анализа.

  57. Источник: Естествознание. Энциклопедический словарь



  58. История слов

    См. УБЕЖДЕНИЕ

  59. Источник:



  60. История слов

    См. ток

  61. Источник:



  62. Словарь церковнославянского языка

  63. Источник:



  64. Русско-шведский бизнес-словарь

  65. Источник:



  66. Тезаурус русской деловой лексики

  67. Источник:



  68. Большой Энциклопедический словарь

  69. Источник:



  70. Толковый словарь Даля

  71. Источник: