«Повторный интеграл»

понятие интегрального исчисления. Вычисление двойного интеграла

(см. Кратный интеграл) от функции f(x, у) по области S, ограниченной прямыми х=а, х = b и кривыми y = φ₁(x), у = φ₂(х), при некоторых условиях относительно функций f(x, у), φ₁(x), φ₂(х), производится по формуле:

где при вычислении внутреннего интеграла х считается постоянным. Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к двум вычислениям обычных интегралов, или, как говорят, к П. и. Геометрически сведение двойного интеграла к П. и. означает возможность вычисления объёма цилиндроида как путём разбиения его на элементарные столбики, так и путём разбиения его на элементарные слои, параллельные плоскости yOz.При некоторых условиях на функцию f(x, у)область S в П. и. можно изменить порядок интегрирования (то есть сначала интегрировать по х, а потом по у). Аналогично определяется П. и. в случае функций большего числа переменных.

Лит. см. при ст. Интегральное исчисление.

мат. interated integral, iterated integral, repeated integral

интеграл, в к-ром последовательно выполняется интегрирование по разным переменным, т. е. интеграл вида

(1)

Функция f(x, y).определена на множестве А, лежащем в прямом произведении XX Y пространств Xи У, в к-рых заданы s-конечные меры m_x и m_y, обладающие свойством полноты; множество ("сечение" множества А), измеримое относительно меры m _х;. множество А _у (проекция множества Ав пространство Y), измеримое относительно меры m _у. Интегрирование по (у).производится по мере (m_x, а по А _у - по мере m_y. Интеграл (1) обозначают также

К П. и. могут быть сведены кратные интегралы. Пусть функция f(x, у), интегрируемая по мере на множестве , продолжена нулем на все пространство , тогда П. и.

и

существуют и равны между собой:

(2)

(см. Фубини теорема). В левом интеграле внешнее интегрирование фактически производится по множеству . Таким образом, в частности, для точек множества (у).измеримы относительно меры m _х. По всему множеству А _у брать этот интеграл, вообще говоря, нельзя, т. к. при измеримом относительно меры m множества Амножество А _у может оказаться неизмеримым относительно меры m_y, так же, как и отдельные множества (у),, могут быть неизмеримы относительно меры m _х.

Множество же всегда измеримо относительно меры m_y, если только множество Аизмеримо относительно меры m.

Сформулированные условия возможности перемены порядка интегрирования в П. и. являются лишь достаточными, но не необходимыми: иногда перемена порядка интегрирования в П. и. допустима, а соответствующий кратный интеграл не существует.

Напр., для функции при x²+y²>0 и f(0, 0) = 0 П. и.

а кратный интеграл

не существует. Однако если существует хотя бы один из интегралов

или

то функция f интегрируема на множестве и справедливо равенство (2).

Для П. и. в случае, когда внутренний интеграл является интегралом Стилтьеса, а внешний - интегралом Лебега, справедлива следующая теорема о перемене порядка интегрирования: пусть функция g(x, у). суммируема по уна [с, d]для всех значений хиз [ а, b]и является функцией ограниченной вариации по хна [ а, b]для почти всех значений . Пусть, далее, полная вариация функции g(x, у).но переменной хна [a, b]при всех указанных значениях уне превышает нек-рой неотрицательной и суммируемой на [с, d] функции. Тогда функция является функцией ограниченной вариации от переменной хна [а, b]и для любой непрерывной на [а, b]функции f(х).имеет место формула

Лит.:[1] Ильин В. А., Полняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Кудрявцев Л. Д., Курс математического анализа, т. 2, М., 1981; [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 1975; [5] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959. Л. Д. Кудрявцев.

iterated integral

integrale iterato