Положительно-определённая форма в словарях и энциклопедиях
выражение вида
aikxixk,
где aik = aki, принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x1, х2,..., xn и обращающееся в нуль лишь при x1=х2=...=xn = 0. Т. о., П.-о. ф. есть Квадратичная формаспециального типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования (См. Линейное преобразование) к виду
2i
Для того чтобы
aikxixk
была П.-о. ф. необходимо и достаточно, чтобы Δ1 > 0, …, Δn > 0, где
В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма
(где — число, комплексно сопряжённое с xk, см. Комплексные числа) такая, что aik= и f ≥0 для всех значений x1, х2,..., xn иf=0 лишь при x1 =х2=...=xn = 0, называется эрмитовой П.- о. ф.
С понятием П.-о. ф. связаны также понятия: 1) положительно-определённой матрицы ||aik|| — такой матрицы (См. Матрица), что
aikξiξk
есть эрмитова П.-о. ф.;
2) положительно-определённого ядра — такой функции К(х, у) = , что
для любой функции ξ(х)с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции — такой функции f(x), что ядро К(х, у)=f(x - y) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f(x) c f(0)=1 совпадает с классом характеристических функций (См. Характеристическая функция)законов распределения случайных величин.