«Приближение и интерполирование функций»

раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.

Приближение функций — нахождение для данной функции fфункции g из некоторого определённого класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f, дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как понимается близость функций f и g. Интерполирование функций — частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции g, а в более общем случае — и значения некоторых их производных.

Для оценки близости исходной функции f и приближающей её функции g используются в зависимости от рассматриваемой задачи метрики (См. Метрика) различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций С и функций, интегрируемых с р-й степенью, L_p, р≥1, в которых расстояние между функциями f и g определяется (для функций, заданных на отрезке [а, b]) по формулам

и

Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида

a_kφ_k (x),

где (φ₁,..., φ_n—заданные функции, a a₁,..., a_n — произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены

a_kx_k

или тригонометрические полиномы

а₀ + a_k coskx+b_k sinkx).

Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам (См. Ортогональные многочлены), по собственным функциям краевых задач и т.п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби P(x)/Q(x), где в качестве Р и Q берутся алгебраические многочлены заданной степени.

В последнее время (60—70-е гг. 20 в.) значительное развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубические сплайн-функции, определяемые следующим образом. Отрезок [a, b] разбивается точками a=x₀ x₁ ...x_n =b, на каждом отрезке [x_k, x_k+1] кубическая сплайн-функция является алгебраическим многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [а, b] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, например, для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах x_k приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов x_kправильного их расположения на отрезке [а, b]. Сплайн-функции оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.

Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.

Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из основных понятий теории — понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f(x)полиномами a_kφ_k (x) в метрике С называется величина

E_n(f)_c= min || f - _kφ_k (x)||_c,

где минимум берётся по всем числам а₁,..., a_n. Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xⁿ⁺¹ на отрезке [—1, 1] в метрике С алгебраическими многочленами степени n равно 1/2ⁿ, а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

xⁿ⁺¹ - ⁿ) cos (n+ 1) arccosx.

Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен f в метрике С [—1, 1], если существуют n+ 2 точки -1 ≤ x₁ <>x₂ <>x_n+2 ≤ 1, в которых разность f(x)—2

Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.

С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при n→ ∞ последовательности E_n(f)— наилучших приближений функции f алгебраическими (или тригонометрическими) многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин E_n(f) в зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений), а с другой — изучаются свойства функции по последовательности её наилучших приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие теоремы.

Для того чтобы функция f была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами выполнялась оценка

E_n(f)_c≤Aq ⁿ,

где q А — некоторые положительные числа, не зависящие от n (теорема С. Н. Бернштейна).

Для того чтобы функция f периода 2π имела производную порядка r, r= 0, 1,2,..., удовлетворяющую условию

|f^(r)(x+h) - f^(r)(x)| ≤ M|h|^α,

0 М —некоторое положительное число, или условию

|f^(r)(x+h) - 2f^(r)(x) + f^(r)(x - h)| ≤ M|h|^α

(в этом случае α = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции f тригонометрическими полиномами была справедлива оценка

Е_п(f)_c≤ А/n ^r+α,

где А — некоторое положительное число, не зависящее от n. В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна, Ш. Ж. Ла Валле Пуссена и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближении алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.

Возможность характеризовать классы функций с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольскийпостроил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.

Для приближений в метрике L₂ полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и её удаётся решить только вотдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.

Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы f+g не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций f и g. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Например, для периодической функции f(x) можно брать частные суммы её ряда Фурье S_n (f, х). При этом справедлива оценка (теорема А. Лебега)

||f - S_n (f)||_c≤ (L_n + 1) E_n(f)_c,

где L_n — числа, растущие при n→∞ как (4/π²) lnn. Они получили название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы S_n(f) доставляют приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего. Подобная оценка имеет место и для приближений интерполяционными тригонометрическими полиномами с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными алгебраическими многочленами на отрезке [-1, 1] с узлами , k=1, 2,..., n, т. е. в нулях полинома Чебышева cosn arccosx. Для основных встречающихся в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные с помощью рядов Фурье или на основе интерполяционных полиномов, что значениями этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания приближений при n→ ∞, что и наилучшие приближения.

А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений — задачи о нахождении при фиксированном n такой системы функций φ₁,..., φ_n, для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами

Теория приближений функций является одним из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислительной математики. С 1968 в США издаётся специализированный журнал «Journal of Approximation Theory».

См. также Приближение функций комплексного переменного.

Лит.: Монографии. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949; Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.

Обзоры. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947, М. — Л., 1948, с. 288—318; Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 295—379; История отечественной математики, т. 3, К., 1968, с. 568—588.

С. А. Теляковский.