«Логицизм»

направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике», т. е. возможности (и необходимости) определения всех исходных математических понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах «чистой» логики и доказательства всех математических предложений (в том числе аксиом) опять-таки логическими средствами. Идеи Л. были выдвинуты ещё Г. В. Лейбницем, но в развёрнутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге, предложившим сведение основного математического понятия — понятия натурального числа — к объёмам понятий и детально разработавшим логическую систему, средствами которой удавалось доказать все теоремы арифметики. Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математического анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории (См. Множеств теория)), то, как считал Фреге, логицистическая программа была тем самым в основном выполнена.

Но ещё до выхода в свет 2-го тома работы Фреге «Основные законы арифметики» (1893—1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге Противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс). Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л.; он предпринял попытку «исправления» системы Фреге и «спасения» её от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации (См. Формализация) не только математики, но и кладущейся в её основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трёхтомный труд «Principia Mathematica» (1910—13). Главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде «ступенчатого исчисления», или «теории типов». Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта «иерархия типов» (а в др. модификациях системы РМ — ещё дополнительная «иерархия уровней») позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классической математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы (см. Типов теория), содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного «мира математики» (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся «аналитическими истинами», или, по Лейбницу, истинами, верными «во всех возможных мирах». Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гёдель (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения (см. Аксиоматический метод, Метаматематика).

Т. о., программа Л. «чисто логического» обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. учёных, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (например, работы американского математика У. ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3.

Ю. А. Гастев.

1. логици́зм;
2. логици́змы;
3. логици́зма;
4. логици́змов;
5. логици́зму;
6. логици́змам;
7. логици́зм;
8. логици́змы;
9. логици́змом;
10. логици́змами;
11. логици́зме;
12. логици́змах.

ЛОГИЦИЗМ - направление в основаниях математики кон. 19 - нач. 20 вв., отвергающее кантовский Тезис о синтетическом характере математических истин; рассматривает математику как чисто аналитическую науку, все понятия которой можно определить в рамках дедуктивной логики без использования каких-либо положений нелогического характера. Основные представители - Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед. Тезис о "сводимости математики к логике" оказался невыполнимым, вместе с тем логицизм способствовал развитию математической логики.

logicism

ЛОГИЦИЗМ

— концепция, сводящая математику к логике. Согласно Л., логика и математика соотносятся между собой как части одной и той же науки: математика может быть получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений. Под логикой при этом понимается теория дедуктивного рассуждения.

Л. восходит к идее Г. Лейбница о «сводимости математики к логике». Во втор. пол. 19 в. нем. логик Г. Фреге сформулировал арифметику чисто логически, но, столкнувшись с парадоксами, признал свою попытку безнадежной. В дальнейшем тезис Л. развивали англ. философы и логики Б. Рассел и А.Н. Уайтхед.

Против идеи, что математические понятия можно свести к логическим понятиям с помощью явных определений и затем вывести математические теоремы из логических аксиом, обычно выдвигаются следующие возражения. Прежде всего, для сведения математики к логике приходится принимать аксиому бесконечности, предполагающую существование бесконечных множеств. Далее в выведении математики из логики в какой-то степени содержится круг. Всегда имеются необоснованные предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Можно попытаться уменьшить их число, но нельзя избавиться от них совсем. Различение, что из этих предпосылок относится к математике, а что — к логике, лежащей в ее основе, носит субъективный и по существу произвольный характер. И наконец, в 1931 К. Гёдель показал, что все системы аксиоматически построенной арифметики существенно неполны: их средствами невозможно доказать некоторые содержательные истинные арифметические утверждения. Основной тезис Л. следует, т.о., признать опровергнутым.

Это не означает, что Л. был совершенно бесплодным. Его сторонники добились определенных успехов в прояснении основ математики. В частности, было показано, что математический словарь сводится к неожиданно краткому перечню основных понятий, которые принадлежат, как принято считать, словарю чистой логики.

Однако в целом Л. оказался утопической концепцией.

логици́зм

направление в основаниях математики конца XIX — начала XX вв., отвергающее кантовский тезис о синтетическом характере математических истин; рассматривает математику как чисто аналитическую науку, все понятия которой можно определить в рамках дедуктивной логики без использования каких-либо положений нелогического характера. Основные представители — Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед. Тезис о «сводимости математики к логике» оказался невыполнимым, вместе с тем логицизм способствовал развитию математической логики.

* * *

ЛОГИЦИ́ЗМ, направление в основаниях математики кон. 19 — нач. 20 вв., отвергающее кантовский тезис о синтетическом характере математических истин; рассматривает математику как чисто аналитическую науку, все понятия которой можно определить в рамках дедуктивной логики без использования каких-либо положений нелогического характера. Основные представители — Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед. Тезис о «сводимости математики к логике» оказался невыполнимым, вместе с тем логицизм способствовал развитию математической логики.

- одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики. Мысль о сведении математики к логике высказывалась Г. Лейбницем (G. Leibniz, кон. 17 в.). Практическое осуществление логицистич. тезиса было предпринято в кон. 19 - нач. 20 вв. в работах Г. Фреге и Б. Рассела (см. [1], [2]). Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математич. теорему в аксиоматич. системе можно рассматривать как нек-рое утверждение о логич. следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логич. термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логич. понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами нек-рых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Б. Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (антиномия Рассела), пытаясь свести ее к логике. Обнаруженное противоречие побудило Б. Рассела к пересмотру взглядов на логику, к-рую он сформулировал в виде разветвленной типов теории. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, к-рые неестественно считать чисто логическими. К ним относятся, напр., аксиома бесконечности, к-рая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, т. е. объектов наинизшего типа. В целом попытка сведения математики к логике не удалась. Как показал К. Гёдель [3], никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики.

Лит.: [1] F г е g е G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet, Bd 1-2, Jena, 1893-1903; [2] Whitehead A. N., R и s s e 1 1 В., Principia Mathematica, Camb., 1910; [3] G 6 d e 1 K., "Monatsh. Math. und Phys.", 1931, Bd 38, S. 173-98; [4] К а р р и Х., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; [5] Френкель А.- А., Бар-Xиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966. В. Е. Плиско.

логици́зм м.

logicism

матем.

логіци́зм, -му

матем.

логіци́зм, -му

направление в основаниях математики кон. 19 - нач. 20 вв., отвергающее кантовский тезис о сиитетич. характере матем. истин; рассматривает математику как чисто аналитич. науку, все понятия к-рой можно определить в рамках дедуктивной логики без использования к.-л. положений нелогич. характера. Осн. представители - Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед. Тезис о "сводимости математики к логике" оказался невыполнимым, вместе с тем Л. способствовал развитию матем. логики.