«Предельный цикл»

системы дифференциальный уравнений 2-го порядка

— замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно приближаются к этой траектории или при t → +∞ (устойчивый П. ц.), или при t → -∞ (неустойчивый П. ц.), или часть из них при t → +∞, а остальные — при t → -∞ (полуустойчивый П. ц.). Например, система

(r и φ — полярные координаты), общее решение которой r = 1 – (1 – r₀)e^-t, φ = φ₀ + t (где r₀ ≥ 0), имеет устойчивый П. ц. r = 1 (см. рис.). Понятие П. ц. переносится также на систему n-го порядка. С механической точки зрения устойчивый П. ц. соответствует устойчивому периодическому режиму системы. Поэтому разыскание П. ц. имеет важное значение в теории нелинейных колебаний.

Лит.: Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.

Рис. к ст. Предельный цикл.

limit cycle

limit cycle

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ

замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич. движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему — «наматываются» на него (устойчивый П. ц.). Устойчивый П. ц. явл. матем. образом периодич. автоколебаний. Напр., уравнение Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового генератора):

d2x/dt2-?(1-x2)dx/dt+х=0 имеет при значении параметра нелинейности?>0 единственный устойчивый П. ц. (рис.). Для систем с одной степенью свободы (их фазовое пространство — плоскость) устойчивыми П. ц. и устойчивыми состояниями равновесия исчерпываются все возможные объекты, к-рые притягивают соседние траектории на фазовой плоскости.

Фазовые портреты генератора Ван дер Поля при разл. значениях нелинейности: а — квазигармонич. колебания; б — сильно несинусоидальные; в — релаксационные (?=10).

В многомерных динамич. системах с размерностью фазового пространства n?3 возможны более сложные притягивающие объекты.

- замкнутая траектория в фазовом пространстве автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к-рая является a- или w-предельным множеством (см. Предельное множество траектории) хотя бы для одной другой траектории этой системы. П. ц. наз. орбитально устойчивым, или устойчивым, если для всякого e>0 найдется d>0 такое, что вес траектории, начинающиеся в d-окрестности П. ц. при t=0, не выходят из его e-окрестности при t>0. П. ц. соответствует периодич. решение системы, отличное от постоянного. Если оно устойчиво по Ляпунову, то П. ц. устойчив. Для того чтобы периодич. решению соответствовал устойчивый П. ц., достаточно, чтобы модули всех его мультипликаторов, кроме одного, были меньше единицы (см. Орбитальная устойчивость, Андронова - Витта теорема).,C физич. точки зрения П. ц. соответствует периодич. режиму, или автоколебанию, системы (см. [2]).

Пусть автономная система (*) определенная в области , где V- дифференцируемое многообразие, напр. , имеет замкнутую траекторию Г. Проведем гиперповерхность p, пересекающую Г трансверсально в точке р. Тогда любая траектория системы, начинающаяся при t=0 в точке , где V - достаточно малая окрестность точки р, при увеличении t снова пересечет я в точке Т(с). Диффеоморфизм имеет неподвижную точку ри наз. наследования отображением. Его свойства определяют поведение траекторий системы в окрестности Г. П. ц. в отличие от произвольной замкнутой траектории всегда определяет отличное от тождественного отображение исследования. Если р - седловая точка диффеоморфизма Т, то П. ц. наз. П. ц. сед левого типа. Система, имеющая П. ц. седлового типа, может иметь гомокли-нич. кривую, т. е. траекторию, для к-рой П. ц. является одновременно как a-, так и w-предельным множеством.

В случае двумерной системы (*) () в качестве p берут прямую и рассматривают функцию r:r(с)=Т (с) -с, к-рая наз. функцией последования. Кратность нуля с=р функции r наз. кратностью П. ц. Предельный цикл четной кратности наз. полуустойчивым. П. ц. вместе с точками покоя и сепаратрисами определяют качественную картину поведения остальных траекторий (см. Пуанкаре - Вендиксона теория, а также [3], [4]). П. ц. в случае аналитич. ций f(х).принадлежит к одному из типов: 1) устойчивый, 2) неустойчивый, т. е. устойчивый П. ц., если изменить направление tна противоположное, 3) полуустойчивый. Напр., система

где , имеет при m<0 (m>0) и kнечетном устойчивый (неустойчивый), а при kчетном - полуустойчивый П. ц. кратности k;во всех этих случаях П. ц. является окружность , т. е. траектория решения

x₁=cos (wt+j₀), x₂=sin(wt + j₀).

Если система (*) задана на односвязиой области , то П. ц. окружает по крайней мере одну точку покоя этой системы.

Для разыскания II. ц. в системе 2-го порядка применяется метод, основанный на следующем утверждении: если векторное поле f(х).направлено вовнутрь (вовне) кольцеобразной области G и в G нет точек покоя, то в Gимеется хотя бы один устойчивый (неустойчивый) П. ц. Выбор области G производится из физич. соображений или результатов аналитических или численных расчетов.

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974; [2] Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; [3] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория динамических систем второго порядка, М., 1966; [4] их же, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, М., 1967; [5] Плисе В. А., Нелокальные проблемы теории колебаний, М.- Л., 1964; [6] Моисеев Н. Н., Асимптотические методы нелинейной механики, 2 изд., М., 1981. Л. А. Черкас.

limit cycle

эл. ciclo limite

грани́чний цикл

грани́чний цикл