«Рауса-Гурвица проблема»

Рауса ‒ Гурвица проблема,проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения

a0zn + a1zn-1 + ... + an-1z + an = 0,

имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a0, a1, ..., an справедлива формула

(1)

где V ‒ число знакоперемен в ряде чисел a0, D1, , ..., а Dl (l = 1, 2, ..., n ‒ определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из Dl равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. ‒ Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину

a0(iw) n + a1(iw) n-1... + an,

при изменении w от 0 до + ¥ описывает кривую. Если при этом полярный угол q точки кривой получает приращение

Dq = n, то

k = (n ‒ n)/2.

(2)

Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует n = n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).

В приложениях встречаются обобщения Р. ‒ Г. п. на случай комплексных коэффициентов a0, a1, ..., an и на случай трансцендентных уравнений.