«Винтовое исчисление»

раздел векторного исчисления (См. Векторное исчисление), в котором изучаются операции над винтами. При этом винтом называется пара векторов {a, b},приложенных началами к одной точке О и удовлетворяющих условиям: при переходе к новой точке O' вектор а не изменяется, а вектор b заменяется вектором b' = b—[p, a], где р = OO'. Понятие винта используется в механике (равнодействующая f системы сил f_i и главный момент mэтой системы относительно точки системы образует винт {f, m}), в геометрии (в теории линейчатых поверхностей). В. и. было создано (1895) русским математиком А. П. Котельниковым.

- раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются операции над винтами- упорядоченными парами коллинеарных векторов (r, r°), приложенных началами к одной точке. Вектор rназ. вектором винта; ось, определенная этим вектором, - осью винта, - моментом винта, а число рв равенстве наз. параметром винта.

В В. и. рассматриваются операции сложения винтов, умножения на число, скалярного и винтового умножения и др. При этом операции В. и. сводятся к операциям над комплексными векторами вида

где w²=0; комплексное число наз. комплексным модулем винта; число наз. комплексным углом между винтами (a - угол между осями, а a° - расстояние между ними). Все формулы В. и. идентичны формулам векторного исчисления, если модуль вектора заменить комплексным модулем винта, а обыкновенный угол между прямыми - комплексным углом.

Например, скалярное произведение двух винтов равно произведению их комплексных модулей на косинус комплексного угла между ними , винтовое произведение двух винтов есть винт, ось которого перпендикулярна осям сомножителей, вектор имеет направление векторного произведения векторов сомножителей, а комплексный модуль равен произведению комплексных модулей этих винтов на синус комплексного угла между осями сомножителей Аналогично устанавливается соответствие между формулами векторного анализа и формулами винтового анализа, в к-ром фигурируют комплексные скалярные функции и винт-функции винтового аргумента.

В. и. применяется в механике, где произвольные перемещения твердого тела или произвольная система сил, действующих на тело, могут быть выражены винтами (см. [4]), в геометрии в теории линейчатых поверхностей (см. [3], [5]).

Теория винтов возникла в начале 19 в. после появления работ Л. Пуансо (L. Poinsot), М. Шаля (М. Chasles), А. Мёбиуса (A. Mobius), Ю. Плюккера (J. Plucker), первый капитальный труд по теории винтов принадлежит Р. Боллу [1]. Собственно В. и. было построено А. П. Котельниковым [2].

Лит.:[1] Ball R., A Treatise on the Theory of the Screws, Dublin, 1876; [2] Котельников А. П., Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. Казань, 1895; [3] Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., М.-Л., 1935; [4] Диментберг Ф. М., Винтовое исчисление и его приложения к механике, М., 1965; [5] 3ейлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геометрия, Л.-М., 1934. _ А. Б. Иванов.