Большая Советская энциклопедия

    важный частный случай сходимости (См. Сходимость).Последовательность функций fn (x)(n=1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции f(x), если для каждого ε > 0 существует такое N=N(ε),что |f(x) — fn (x)| n>N для всех точек х из данного множества. Например, последовательность функций fn (x)=xnравномерно сходится на отрезке [0, 1/2] к предельной функции f(x) = 0, так как |f(x) — fn (x)| ≤ (1/2) n 1/2, если только n > ln (1/ε)/ln2, но она не будет равномерно сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f(x) =0 при 0 ≤ x f(1) = 1, т.к. для любого сколько угодно большого заданного n существуют точки η, удовлетворяющие неравенствам f(η) — fn (η)| =ηn >1/2. Понятие Р. с. допускает простую геометрическую интерпретацию: если последовательность функций fn (x) равномерно сходится на некотором отрезке к функции f(x),то это означает, что для любого ε > 0 все кривые у=fn (x) с достаточно большим номером будут расположены внутри полосы ширины 2ε, ограниченной кривыми у= f(x)± ε для любого хиз этого отрезка (см.рис.).

    Равномерно сходящиеся последовательности функций обладают важными свойствами; например, предельная функция равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных функций, которая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной). Важную роль в математическом анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся последовательности многочленов (или тригонометрических полиномов). См. также Приближение и интерполирование функций.

    Рис. к ст. Равномерная сходимость.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  2. Большой англо-русский и русско-английский словарь

    uniform convergence

  3. Источник: Большой англо-русский и русско-английский словарь



  4. Англо-русский словарь технических терминов

    uniform convergence

  5. Источник: Англо-русский словарь технических терминов



  6. Математическая энциклопедия

    последовательности функций (отображений) - свойство последовательности , где X- произвольное множество, Y - метрич. пространство, n=1,2,..., к функции (отображению) , означающее, что для любого e>0 существует такой номер п e, что для всех номеров п>ne и всех точек выполняется неравенство

    Это условие равносильно тому, что

    Чтобы последовательность {fn} равномерно сходилась на множестве Xк функции f, необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовая последовательность {an}, что и существовал такой номер n0, что для всех n>n0 и всех выполнялось неравенство

    Пример. Последовательность fn(x)=xn, п=1,2,..., равномерно сходится на любом отрезке [0, а], 0<а<1 и не сходится равномерно на отрезке [0, 1].

    Необходимое и достаточное условие Р. с. последовательности функций без использования понятия предельной функции дает Ноши критерий равномерной сходимости.

    Свойства равномерно сходящихся последовательностей.

    1. Если Y - линейное нормированное пространство и последовательности отображений и , n=1, 2,..., равномерно сходятся на множестве X, то при любых и последовательность {lfn+mgn} также равномерно сходится на X.

    2. Если Y - линейное нормированное кольцо, последовательность отображений , 2,..., равномерно сходится на множестве Xи g: XY - ограниченное отображение, то последовательность {gfn} также равномерно сходится на X.

    3. Если X - топологич. пространство, Y - метрич. пространство и последовательность непрерывных в точке отображений равномерно на множестве Xсходится к отображению , то это отображение также непрерывно в точке x0, то есть

    Условие равномерной сходимости последовательности {fn} на Xявляется в этом утверждении существенным в том смысле, что существуют даже последовательности числовых непрерывных на отрезке функций, сходящиеся во всех его точках к функции, не являющейся непрерывной на рассматриваемом отрезке. Примером такой последовательности является fn(x)=xn, n=1,2,..., на отрезке [0, 1]. Р. с. последовательности непрерывных функций не есть необходимое условие непрерывности предельной функции. Однако если множество X- компакт, Y- множество действительных чисел , последовательность непрерывных функций во всех точках одновременно возрастает или убывает и имеет конечный предел,

    то для того, чтобы функция f была непрерывной на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы последовательность {fn} сходилась равномерно на этом множестве. Необходимые и одновременно достаточные условия для непрерывности предела последовательности непрерывных функций в общем случае даются в терминах квазиравномерной сходимости последовательности.

    4. Если последовательность интегрируемых по Риману (по Лебегу) функций , n=1,2,..., равномерно на отрезке [ а, b], сходится к функции , то эта функция также интегрируема по Риману (соответственно по Лебегу), и для любого имеет место равенство

    (*)

    и сходимость последовательности на отрезке [ а, b]к функции равномерна. Формула (*) обобщается на случай Стилтьеса интеграла. Если же последовательность интегрируемых на отрезке [ а, b]функций fn, п=1, 2,..., просто сходится в каждой точке этого отрезка к интегрируемой же на нем функции f, то формула (*) может не иметь места.

    5. Если последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [ а, b]функций , п=1, 2,..., сходится в нек-рой точке , а последовательность их производных равномерно сходится на [ а, b], то последовательность {fn} также равномерно сходится на отрезке [ а, b], ее предел является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и

    Пусть X - произвольное множество, а Y - метрич. пространство. Семейство функций (отображений) faY,, где - топологич. пространство, наз. равномерно сходящимся при к функции (отображению) , если для любого e>0 существует такая окрестность U(a0) точки a0, что для всех и всех выполняется неравенство

    Для равномерно сходящихся семейств функций имеют место свойства, аналогичные указанным выше свойствам Р. с. последовательностей функций.

    Понятие Р. с. отображений обобщается на случай, когда Y - равномерное пространство, в частности, когда Y - топологич. группа.

    Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Колмогорова. Н., ФоминС. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1981.

    Л. Д. Кудрявцев.

  7. Источник: Математическая энциклопедия



  8. Русско-английский политехнический словарь

    uniform convergence

  9. Источник: Русско-английский политехнический словарь



  10. Dictionnaire technique russo-italien

    convergenza uniforme

  11. Источник: Dictionnaire technique russo-italien



  12. Русско-украинский политехнический словарь

    см. абсолютная сходимость

  13. Источник: Русско-украинский политехнический словарь



  14. Русско-украинский политехнический словарь

    см. абсолютная сходимость

  15. Источник: Русско-украинский политехнический словарь