«Парсеваля равенство»

равенство вида

где a₀, a_n, b_n— коэффициенты Фурье функции f(x). Установлено в 1805 французским математиком М. Парсевалем (М. Parseval) при предположении о возможности почленного интегрирования тригонометрических рядов. В 1896 А. М. Ляпунов доказал, что это равенство справедливо, если функция ограничена в интервале (—π,π) и существует интеграл Стеклова установлена справедливость П. р. для рядов по др. ортогональным системам функций. См. также Тригонометрический ряд,Ортогональная система функций.

- равенство, выражающее квадрат нормы элемента в векторном пространстве со скалярным произведением через квадраты модулей коэффициентов Фурье этого элемента по нек-рой ортогональной системе элементов; так, если X - нормированное сепарабельное векторное пространство со скалярным произведением - соответствующая ему норма и - ортогональная в Xсистема, , n=1,2,..., то равенством Парсеваля для элемента наз. равенство

(1)

где , n=1, 2,...,- коэффициенты Фурье

элемента хпо системе . Если эта система ортонормирования, то П. р. имеет вид

Выполнение П. р. для данного элемента является необходимым и достаточным условием того, чтобы ряд Фурье этого элемента по ортогональной системе сходился к самому элементу хпо норме пространства X. Выполнение П. р. для любого элемента является необходимым и достаточным условием для того, чтобы ортогональная система была полной системой в X. Отсюда следует, в частности: если X - сепарабельное гильбертово пространство и - его ортонормированный базис, то П. р. по системе выполняется для каждого элемента ; если X- сепарабельное гильбертово пространство, - ортонормированный базис в X, и - коэффициенты Фурье соответственно элементов х и у, то справедливо равенство

(2)

наз. обобщенным равенством Парсеваля. В достаточно законченном виде вопрос о полноте систем функций, являющихся собственными функциями дифференциальных операторов, был изучен В. А. Стендовым [1].

П. р. обобщается и на случай несепарабельных гильбертовых пространств: если нек-рое множество индексов), является полной ортонормированной системой гильбертова пространства X, то для любого элемента справедливо П. р.

причем сумма в правой части равенства понимается как

где верхняя грань берется по всевозможным конечным подмножествам множества

В случае, когда состоит из действительных функций, квадрат к-рых интегрируем по Лебегу на отрезке , в качестве полной ортогональной системы взята тригонометрич. система функций и

равенство (1) имеет вид

и наз. классическим равенством Парсеваля; оно было указано М. Парсевалем (М. Parseval, 1805). Если и

то равенство, аналогичное формуле (2), выглядит следующим образом:

(3)

Классы К т К' действительных функций, определенных на отрезке , такие, что для всех и имеет место обобщенное П. р. (3), наз. дополнительными. Примером дополнительных классов являются пространства и

Лит.:[1] Стеклов В. А., "Записки физико-математич. общества", сер. 8, 1904, т. 15, № 7, с. 1-32; [2] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 197й; [3] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 2 изд., ч. 2, М., 1980; [4] "Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [5] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1, М., 1965; [6] Кириллов А. А., Гвишиани А. Д., Теоремы и задачи функционального анализа, М., 1979. Л. Д. Кудрявцев.