«Ортогональная система функций»

система функций {(φ_n (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что

Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., — О. с. ф. с весом 1 на отрезке [—π, π]. Бесселя функции n = 1, 2,..., J_ν(x), образуют для каждого ν > — ¹/₂ О. с. ф. с весом х на отрезке [0, l].

Если каждая функция φ (х) из О. с. ф. такова, что х) на число

Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма — Лиувилля задачи (См. Штурма - Лиувилля задача) для уравнения [ρ(х) у' ]' + q(x) y = λу, удовлетворяющих граничным условиям у(а) + hy'(a) = 0, y(b) + Hy'(b) = 0, где h и Н — постоянные. Эти решения — т. н. собственные функции задачи — образуют О. с. ф. с весом ρ (х) на отрезке [a, b].

Чрезвычайно важный класс О. с. ф. — Ортогональные многочлены — был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.— задача о разложении функции f(x) в ряд вида _п (х)} — О. с. ф. Если положить формально _п (х)} — нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на φ_п (х) ρ(х) и интегрируя от а до b, получим:

Коэффициенты С_п , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {φ_n (x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма х):

(*)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же nдругими линейными выражениями вида

Ряд ∑^∞_n=1C_nφ_n(x) с коэффициентами С_п , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f(x) по нормированной О. с. ф. {φ_n (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f(x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f(x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций φ_k (x), то есть ^∞_n=1C_nφ_n(x) сходится в среднем к функции f(x)]. 2) Для всякой функции f(x), квадрат которой интегрируем относительно веса ρ(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова — Стеклова:

3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b] квадратом, ортогональной ко всем функциям φ_n (x), n = 1, 2,....

Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство), то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. — разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова — Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.

Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ система ФУНКЦИЙ - система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов.

ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ

(отгреч. orthogonios - прямоугольный) - конечная или счётная система ф-ций , принадлежащих (сепара-бельному) гильбертову пространству L²(a,b )(квадратично интегрируемых ф-ций) и удовлетворяющих условиям

Ф-ция g(x )наз. весом О. с. ф.,* означает комплексное сопряжение. Если все = 1, то О. с. ф. наз. ортонормированной. О. с. ф. наз. полной, если длялюбой ф-ции f(x)L²(a,b )существует ряд Фурье сходящийся к f(х); такой ряд будет единственным, а его коэф. определяютсяф-лами Фурье

Всякая линейно независимая (полная) системаф-ций приводится с помощью процедуры ортогонализации (см. Ортонормированнаясистема векторов )к (полной) нормированной О. с. ф.

Для всякого ряда Фурье, построенного поО. с. ф., выполняется неравенство Бесселя

а для полной О. с. ф. справедливо равенствоПарсеваля

Примеры полных О. с. ф.:

1) тригонометрическая система ф-ций наотрезке [ - 1, 1], g(x) =1:

2) системы ортогональных полиномов;

3)система Хаара

а т= 2 ^п+ k,1k2ⁿ, т=2, 3,....

О. с. ф. используют в разл. физ. задачах. <Спектральный анализ в теории колебаний, акустике, радиофизике и оптикеоснован на разложении ф-ций в ряды по тригонометрич. системе. В любых задачахна собств. значения операторов также появляются О. с. ф., т. к. для эрмитоваоператора собств. ф-ции, отвечающие разл. собств. значениям, ортогональны между собой. <В квантовой механике, где квадрат модуля волновой ф-ции играет роль плотности распределения вероятности, свойство ортонормируемостиотражает тот факт, что полная вероятность найти частицу в данном состоянииравна 1, если известно, что система находится в состоянии с определённымквантовым числом.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. <В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;Шилов Г. Е., Математический анализ. Функции одного переменного, ч. 3, М.,1970; Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, пер. сангл., т. 1, М., 1982.

Л. О. Чехов.