«Возрастание и убывание функции»

функция y = f(x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а ≤ х выполняется неравенство f(x) ≤ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) <>f(x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции. Например, функция у = х² (рис., а) строго возрастает на отрезке [0,1], а

(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)↑, а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f'(x) была неотрицательной на [а, b].

Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x₀, если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x₀, что для любой точки х из (α, β), х> x₀, выполняется неравенство f (x₀) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х<>₀, выполняется неравенство f (x) ≤ f (x₀). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x₀. Если f'(x₀) > 0, то функция f(x) строго возрастает в точке x₀. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 1, М., 1966.

С. Б. Стечкин.

График к ст. Возрастание и убывание функции.

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ - понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА НАСЕЛЕНИЯ - соотношение численности разных возрастных групп населения. Зависит от уровней рождаемости и смертности, продолжительности жизни людей. В 1990 население в возрасте до 15 лет составляло (в мире) 32%, 15-64 лет - 62%, 65 лет и старше - 6%.

возраста́ние и убыва́ние фу́нкции

понятия математического анализа. Функция f(х) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек x₁ и x₂, a≤x₁<x₂≤b, выполняется неравенство f(x₁)<f(х₂), и неубывающей, если f(x₁)≤f(x₂). Аналогично определяются убывание и невозрастание функции. На рис. а — график возрастающей функции на отрезке [0, 1], на рис. б — убывающей.

* * *

ВОЗРАСТА́НИЕ И УБЫВА́НИЕ ФУ́НКЦИИ, понятия математического анализа. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек x₁ и x₂, aЈ x₁ < x₂ Јb, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂), и неубывающей, если f(x₁) Ј f(x₂). Аналогично определяются убывание и невозрастание функции.

понятия матем. анализа. Ф-ция f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары точек х₁ и x₂, а<или=х₁ <х<или=b, выполняется неравенство f(x₁)<f(x₂), и неубывающей, если f(x₁)< или=f(x₂). Аналогично определяются убывание и невозрастание ф-ции. На рис. а - график возрастающей ф-ции на отрезке [0, 1], на рис. 6 - убывающей.