«Остроградского метод»

метод выделения рациональной части неопределённого интеграла

где Q(x) — многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р(х)— многочлен степени m≤n— 1.

О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией (См. Рациональная функция) переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство

где Q₁, Q₂, P₁, P₂— многочлены степеней соответственно n₁, n₂, m₁, m₂, причём n₁ + n₂= n, m₁ ≤ n₁ — 1, m₂ ≤n₂ — 1 и многочлен Q₂(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q₁(x) является наибольшим общим делителем (См. Наибольший общий делитель) многочленов Q(x) и Q₁(x) можно найти, например, с помощью Евклида алгоритма. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество

Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P₁(x) и P₂(x) Неопределённых коэффициентов методом.

О. м. был впервые предложен в 1844 М. В. Остроградским (См. Остроградский).

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969.

- метод выделения алгебраич. части у неопределенных интегралов от рациональных функции. Пусть Р(х).и Q(х).- многочлены с действительными коэффициентами, причем степень Р(х).меньше степени Q(х).и, следовательно, -правильная дробь,

a_i, p_j, q_j - действительные числа, и b_i- - натуральные числа, i=l, 2,..., r, j=1, 2,..., s,

Тогда существуют такие действительные многочлены Р ₁ (х).п Р ₂ (Х), степени к-рых меньше соответственно чем степени п ₁ и n₂=r+2s многочленов Q₁(x).и Q₂(x), что

Важным является то обстоятельство, что многочлены Q₁(x) н Q₂(x).можно найти без знания разложения (1) многочлена Q(x).на неприводимые множители: многочлен Q₁(x).является наибольшим общим делителем многочлена Q(х).и его производной Q' (х).и может быть получен с помощью алгоритма Евклида, a Q₂(x)=Q(x)/Q₁(x). Коэффициенты многочленов P₁(x).и Р ₂ (х).можно вычислить с помощью неопределенных коэффициентов метода. О. м. сводит, в частности, задачу интегрирования правильной рациональной дроби к задаче интегрирования правильной рациональной дроби, знаменатель к-рой имеет, простые корни; интеграл от такой функции выражается через трансцендентные функции: логарифмы и арктангенсы. Следовательно, рациональная дробь

в формуле (3) является алгебраич. частью неопределенного интеграла

О. м. впервые опубликован М. В. Остроградским в 1845 (см. [1]).

Лит.:[1] Остроградский М. <В. "Bull, scient. Acad. Sci. St.-Pitersbourg", 1845, t. 4,№ 10-11, p. 145-67; № 18-19, p. 280 - 300. Л. Д. Кудрявцев.