«Интуиционистская логика»

форма логики предикатов (См. Логика предикатов), отражающая взгляд Интуиционизма на характер логических законов, считающихся, с его точки зрения, допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно связаны с понятием математической бесконечности (См. Бесконечность).

В соответствии с концепцией интуиционизма, в И. л. нет исключенного третьего принципа (См. Исключённого третьего принцип) и закона снятия двойного отрицания. В качестве И. л. обычно рассматривается формальная логическая система, построенная нидерландским математиком А. Гейтингом в 1930 (охватывает логику предикатов; ещё ранее — на основании соображений, отличных от интуиционистских, — систему И. л. в применении к логике высказываний, составляющей часть логики предикатов, построил советский учёный В. И. Гливенко). Интуиционистская логика Гейтинга отличается тем, что выразимые в ней содержательные рассуждения являются приемлемыми с точки зрения интуиционизма нидерландского математика Л. Э. Я. Брауэра.

С развитием конструктивных направлений в математике и логике И. л. нашла в них применение и поэтому стала часто называться конструктивной логикой (хотя в И. л. и нет некоторых принципов, признаваемых многими представителями этих направлений, например принципа конструктивного подбора, выдвинутого конструктивным направлением (См. Конструктивное направление), возглавляемым советским математиком А. А. Марковым).

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ логика - логика, удовлетворяющая интуиционистским требованиям к математическим рассуждениям.

мат. intuitionistic logic

ИНТУИЦИОНИСТСКАЯ ЛОГИКА

— одна из наиболее важных ветвей неклассической логики, имеющая своей филос. предпосылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 гол. математик и логик А. Рейтинг — ученик создателя интуиционизма Л.Э.Я. Брауэра — дал аксиоматическую формулировку И.л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может идти только по следам математической конструкции». В И.л. не действует закон исключенного третьего, а также ряд др. законов классической логики, позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реализовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двойного отрицания и закон приведения к абсурду.

Отбрасывание закона исключенного третьего не означает принятия отрицания этого закона; напротив, И.л. утверждает, что отрицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) является верным. Отбрасывание не должно пониматься так же, как введение какого-то третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью.

В классической логике центральную роль играет понятие истины. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И.л. смысл связок задается путем указания тех необходимых и достаточных условий, при которых может утверждаться сложное высказывание.

Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как p, так и q. Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Математическое высказывание р можно утверждать только после проведения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие противоречия здесь принимается в качестве неопределяемого, практически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2. Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q.

Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается.

И.л. является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере существования объектов, исследуемых в математике.

Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исключенного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, разрабатывались рус. математиками А.Н. Колмогоровым, В.И. Гливенко, А.А. Марковым, Н.А. Шаниным и др. В результате критического переосмысления основных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

интуициони́стская ло́гика

логика, удовлетворяющая интуиционистским требованиям к математическим рассуждениям.

* * *

ИНТУИЦИОНИ́СТСКАЯ ЛО́ГИКА, логика, удовлетворяющая интуиционистским требованиям к математическим рассуждениям.

- совокупность приемлемых с точки зрения интуиционизма методов доказательства утверждений. В более узком смысле под И. л. понимается интуиционистское исчисление предикатов, сформулированное А. Рейтингом (A. Heyting) в 1930. Это исчисление формулируется обычно в стандартном языке предикатов исчисления, содержит все схемы аксиом и правила вывода интуиционистского исчисления высказываний (но для языка исчисления предикатов) и, кроме того, следующие кванторные аксиомы и правила вывода. Аксиомы:

Два правила вывода:

где х- переменная, t- терм языка, формула Сне содержит хв качестве параметра.

Полнота интуиционистского исчисления предикатов зависит от семантич. принципов, к-рые лежат в основе рассматриваемой интуиционистской теории. Так, принцип конструктивного подбора Маркова (см. Конструктивного подбора принцип )в форме

не выводится в интуиционистском исчислении предикатов, но принимается как истинный в нек-рых разновидностях конструктивизма. Другой пример такого рода - так наз. принцип униформизации:

являющийся истинным в нек-рых интуиционистских интерпретациях и в то же время несовместный с принципом конструктивного подбора в рамках арифметич. теории с Чёрча тезисом. Приведенные примеры показывают, что не существует единого полного интуиционистского исчисления предикатов, к-рое могло бы служить логич. базисом всех прикладных интуиционистских теорий. В зависимости от применяемых семантич. соглашений возможны существенно различные варианты И. л. Развитие интуиционистской теории видов позволяет в рамках интуиционизма точно формулировать многие семантич. проблемы. Так, К. Гёдель (К. Godel) показал, что полнота интуиционистского исчисления предикатов относительно интуиционистской теории видов влечет принцип конструктивного подбора Маркова для примитивно-рекурсивных предикатов, что является аргументом в пользу неполноты исчисления предикатов с точки зрения такой семантики. С другой стороны, были найдены интуиционистски приемлемые доказательства полноты И. л. относительно алгебраич. семантик типа моделей Бета или моделей Крипке.

Лит.:[1] Гейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; [2] К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.

А. Г. Драгалин.

інтуїціоні́стська ло́гіка

інтуїціоні́стська ло́гіка