«Устойчивость упругих систем»

свойство упругих систем возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений их из этого состояния. Понятие У. у. с. тесно связано с общим понятием устойчивости движения (См. Устойчивость движения) или равновесия. Устойчивость является необходимым условием для любой инженерной конструкции. Потеря устойчивости может явиться причиной разрушения как отдельного элемента конструкции, так и сооружения в целом. Потеря устойчивости при определённых видах нагружения характерна для различных гибких элементов, входящих в состав конструкции, – стержней (продольный изгиб), пластинок и оболочек (выпучивание).

До 2-й половины 19 в. единственным критерием прочности инженерных сооружений принималась величина действующих напряжений, т. е. считалось, что если напряжения не превосходят некоторого предела, зависящего от механических свойств материала, то сооружению не грозит опасность. Это было справедливо, пока строительными материалами служили камень, дерево, чугун и т.д., для которых, благодаря низким допускаемым напряжениям, случаи потери устойчивости были весьма редки. С появлением конструкций, в состав которых входят длинные сжатые стержни, последовал ряд аварий, заставивших пересмотреть укоренившуюся точку зрения. Оказалось, что они произошли вследствие недостаточной устойчивости сжатых стержней. Так, например, в результате потери устойчивости под воздействием порывов ветра в 1940 рухнул Такомский висячий мост (США).

Физическим признаком устойчивости или неустойчивости формы равновесия служит поведение нагруженной упругой системы при её отклонении от рассматриваемого положения равновесия на некоторую малую величину. Если система, отклоненная от положения равновесия, возвращается в первоначальное положение после устранения причины, вызвавшей отклонение, то равновесие устойчиво. Если отклонение не исчезает, а продолжает расти, то равновесие неустойчиво. Нагрузка, при которой устойчивое равновесие переходит в неустойчивое, наз. критической нагрузкой, а состояние системы – критическим состоянием. Установление критических состояний и составляет основной предмет теории У. у. с.

Для прямого стержня (См. Стержень), сжатого вдоль оси силой Р, значение критической силы Р_кропределяется формулой Эйлера Р_кр =π²EI/(μl)², где Е — модуль упругости материала, I — момент инерции поперечного сечения, l – длина стержня, μ — коэффициент, зависящий от условий закрепления концов. В случае двух шарнирных опор, одна из которых является неподвижной, а вторая – подвижной, μ = 1.

Для прямоугольной Пластинки, сжатой в одном направлении, критическое напряжение равно δ_кр = Kπ²D/b²h, где D = Eh³/12(1 - ν)² – т. н. цилиндрическая жёсткость, b и h – ширина и толщина пластинки, ν – Пуассона коэффициентматериала, К –коэффициент, зависящий от условий закрепления краев и от отношения между размерами пластинки.

В случае круговой цилиндрической оболочки (См. Оболочка), сжатой вдоль оси, можно установить т. н. верхнее критическое напряжение σ_{кр. в.} =h и R –толщина и радиус кривизны срединной поверхности оболочки. Несколько иную структуру имеют формулы для верхнгео критического напряжения при действии поперечного давления или скручивающих пар. Потеря устойчивости реальных оболочек во многих случаях происходит при меньшей нагрузке вследствие значительного влияния различных факторов, особенно начальных неправильностей формы.

Для сложных конструкций точное решение затруднено, поэтому прибегают к различным приближённым методам. Для многих из них пользуются энергетическим критерием устойчивости, в котором рассматривается характер изменения потенциальной энергии П системы при малом отклонении её от положения равновесия (для устойчивого равновесия П =min). При рассмотрении неконсервативных систем, например стержня, сжатого силой, наклон которой меняется в процессе выпучивания (следящая сила), применяется динамический критерий, заключающийся в определении малых колебаний нагруженной системы. Важное значение имеет исследование т. н. закритического поведения упругих систем. Оно требует решения нелинейных краевых задач. Для стержня закритическая деформация оказывается возможной лишь при его очень большой гибкости. Напротив, для тонких пластинок вполне возможны значительные прогибы в закритической стадии – при условии, что края пластинки подкреплены жёсткими стержнями (стрингерами). Для оболочек закритическая деформация связана обычно с прощёлкиванием и потерей несущей способности конструкции.

Приведённые выше данные относятся к случаю, когда потеря У. у. с. имеет место в пределах упругости материала. Для исследования У. у. с. за пределами упругости пользуются пластичности теорией (См. Пластичности теория). Если нагрузка, приводящая к потере устойчивости, динамическая, необходимо учитывать силы инерции элементов конструкции, отвечающие характерным перемещениям. Чем более быстрым является нагружение, тем более выраженной оказывается форма выпучивания. При ударных нагрузках исследуются волновые процессы передачи усилий в конструкции. Если материал конструкции находится в состоянии ползучести, для определения критических параметров пользуются соотношениями теории ползучести (см. Ползучесть).

Лит.: Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем, М., 1956; его же, Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости, М., 1961; Вольмир А. С., Устойчивость деформируемых систем, 2 изд.. М.. 1967: Ржаницын А. Р., Устойчивость равновесия упругих систем, М., 1955: Смирнов А. Ф., Устойчивость и колебания сооружений, М., 1958; Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, пер. с англ., 2 изд., М., 1955; его же, Устойчивость стержней, пластин и оболочек, М., 1971; Вольмир А. С., Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости, М., 1976.

А. С. Вольмир.

УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СИСТЕМ

-свойство упругих систем возвращаться к состоянию равновесия после малых отклонений их из этого состояния. Понятие У. у. с. тесно связано с общими понятиями устойчивости движения и равновесия. Устойчивость является необходимым условием для любой конструкции. Потеря устойчивости

где -матрица 3-поворотов, , Подчеркнём, что частота w в множестве (9) не фиксирована.

Если возмущённый солитон описывать полем

то возмущение x определим как Метрики r₀, r выберем в виде

где||||-норма в , значок С обозначает совместную норму в

Изучим Q-yстoйчивость солитонных решений (8), наложив условие фиксации заряда, уже предполагающееся в определении (10):

Введем удобные для дальнейшего обозначения:

Выберем в качестве функционала Ляпунова интеграл движения

где -энергия поля. Его вторая вариация может быть представлена в виде

где введены самосопряжённые операторы

Из (12) следует, что для положительной определённости d²V необходимо выполнение неравенств F_p >0, h> 0. Оказывается, что безузловые солитоны (u>0) могут быть устойчивыми, тогда как узловые солитоны (для к-рых на нек-рых поверхностях u = 0) всегда неустойчивы. Заметим, что для безузловых солитонов спектр оператора неотрицателен, т. к. и>0, и поэтому и - первая собственная ф-ция оператора L^{^}₂, тогда как нулевая мода x₂=u исключается выбором метрики r. Анализируя структуру второй вариации (12), можно установить справедливость следующей теоремы (Q -теоре-мы): безузловые стационарные решения (8) Q -устойчивы по Ляпунову в области

если в ней оператор имеет единств. отрицат. собств. значение, а собств. ф-ция y- удовлетворяет условию

Условия Q -теоремы необходимы для устойчивости безузловых солитонов, что можно установить с помощью следующего функционала Четаева:

где

Вычисляя его производную W^., находим:

Отсюда следует, что в области т. е. имеет место неустойчивость солитонов.

Чтобы убедиться в неустойчивости узловых солитонов, заметим, что в этом случае возмущение x₂ всегда содержит решение однородного ур-ния допускающего знакопеременный интеграл "энергии"

т. к. оператор имеет отрицат. собств. значения. Это видно из ур-ния и наличия узлов у ф-ции u(r). Неустойчивость доказывается существованием функционала Четаева для к-рого W>0в области

Рассмотрим примеры применения Q -теоремы для анализа устойчивости солитонов в D -мерном пространстве.

1) С т е п е н н а я м о д е л ь. В этом случае и ф-ция и( х )удовлетворяет ур-нию

к-рое имеет безузловое решение и(r )при условиях|w|<1 0<1-1/n<=2/D. Выполнив в (15) замену переменных: x=r(1-w²)^-1/2, u=u(1-w²)^s, s^-1=2(n-1), находим заряд Q(w) невозмущённого солитона:

Из (16) следует, что условие (13) выполнено для частот

Условие (14) также выполнено, т. к. а ф-ция как первая собств. ф-ция оператора . Поэтому неравенство (17) определяет область устойчивости безузловых солитонов.

2) Л о г а р и ф м и ч е с к а я м о д е л ь задаётся ф-цией F=p+s(1-lns) и допускает решения вида

Отсюда находим зависимость заряда от частоты:

определяющую, согласно (13), область устойчивости:

3) Шрёдингера уравнение нелинейное, допускает решения (8) с амплитудой u, подчиняющейся ур-нию (15) с переобозначением . Замена переменных x=r|w|^-1/2, u=u|w|^s, s^-1=2(n-1) позволяет найти заряд как ф-цию от w:

Отсюда следует, что в области устойчивости 1 < п <1+2/D, а при п>1 +2/D солитоны неустойчивы. Это устанавливается с помощью функционала Четаева

3. Метод Захарова - Кузнецова (1974). Метод состоит в доказательстве ограниченности снизу энергии консервативной системы при условии фиксации нек-рых дополнит. интегралов движения. Проиллюстрируем метод на последнем примере, показав, что интеграл энергии в оценивается снизу через заряд Q. В самом деле,

Вводя обозначение ..., и используя неравенства приходим к оценке

Если 5>3n, то правая часть этого неравенства имеет минимум при

Поэтому энергия при фиксированном I₂ = Q также имеет минимум, к-рый и реализуется на нек-рой стабильной конфигурации.

Используем метод Захарова - Кузнецова для доказательства существования стабильных солитонов ещё в двух распространённых моделях.

1) Кортевега - де Фриса уравнение (D= 1) описывает волны на мелкой воде и допускает законы сохранения энергии

и импульса Используя неравенство Гальяр-до - Ниренберга-Ладыженской получаем оценку для энергии снизу:

Минимизируя правую часть этого неравенства по|| д _xj||, находим Т. о., при фиксированном импульсе Р=I₂ энергия ограничена снизу и имеет минимум, к-рый реализуется на нек-рой устойчивой конфигурации.

2) Кадомцева - Петвиашвили уравнение (D =2)

рассматривается как двумерное обобщение ур-ния Кортевега- де Фриса и также допускает законы сохранения энергии

и импульса Воспользуемся неравенством Гёльдера , а также очевидными неравенствами

объединяя к-pые, приходим к соотношению , позволяющему получить оценку для энергии снизу:

Минимизируя правую часть в (18) по|| д _xj|| и|| д _yw||, получаем неравенство означающее, что при фиксированном импульсе Р=I₂ минимум энергии реализуется на нек-рой стабильной солитонной конфигурации.

4. Пример применения прямого метода в кинетической теории плазменных солитонов. Рассмотрим эл.-статич. приближение Власова - Пуассона в одномерном случае (D =1). Ур-ния для ф-ции распределения электронов f(t, x,u) и напряжённости электрич. поля в плазме E(t, x )в приближении тяжёлых ионов имеют вид (распределение ионов не зависит от времени)

С учётом граничных условий

в системе отсчёта, связанной с центром распределения электрич. поле исключается:

Пусть невозмущённое решение ур-ний (19) стационарно:

где -энергия электрона, m = sign u. Т. к. f>0, полагаем считая c₀ решением ур-ния

где При этом возмущение x=c-c₀ с учётом (20) и линеаризованного условия нормировки удобно представить в виде

считая, что j удовлетворяет линеаризованному ур-нию

где введены операторы

Из ур-ния (21) следует, что существует интеграл движения

В случае e= -1 функционал (22) положительно определён, что говорит об устойчивости монотонных по энергии w распределений - теорема Ньюкомба - Гарднера (клас-сич. пример: распределение Максвелла - Больцмана f₀=Ae^-w). Покажем, что монотонные распределения гло-бально устойчивы, выбрав функционал Ляпунова

где l-множитель Лагранжа, G(f) - нек-рая вспомогательная ф-ция, определяемая из условия стационарности V₁. Из условия dV₁(f₀)=0 находим или, после дифференцирования по w, . Т. о., V₁ - глобально выпуклый функционал. В частности, полагая убеждаемся, что Однако если распределение f₀ немонотонно по энергии, то функционал (22) знакопеременный, что говорит о неустойчивости. В самом деле, для функционала Четаева

где F- решение вспомогат. ур-ния

найдём, что в области V<0. Т. о., немонотонные распределения неустойчивы по метрикам r₀, r где

(Подробное изложение теории прямого метода Ляпуно-ва и его приложений смотри в прилагаемом списке литературы.)

Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, 2 изд., Л.- М., 1935; Зубов В. И., Методы А. М. Ляпунова и их применение, Л., 1957; Мовчан А. А., Устойчивость процессов по двум метрикам, "Прикл. матем. и мех.", 1960, т. 24, в. 6, с. 988; Жидков Е. П., Кирчев И. П., Устойчивость решений вида уединенных волн некоторых нелинейных уравнений математической физики, "ЭЧАЯ", 1985, т. 16, в. 3, с. 597; Рыбаков Ю. П., Устой-чивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации, в кн.: Итоги науки и техники, сер. Классическая теория поля и теория гравитации, т. 2, М., 1991, с. 56; Benjamin Т. В., Stability of solitary waves, "Proc. Roy. Soc.", 1972, v. 328A, p. 153; Makhan-kov V. G., Dynamics of classical solitons (in non-integrable systems), "Phys. Repts", 1978, v. 35, № 1, p. 1; Holm D. D. [a.o.], Nonlinear stability of fluid and plasma equilibrium, "Phys. Repts", 1985, v. 123, № 1 -2, p. l;ShatahJ., Strauss W., Instability of nonlinear bound states, "Comm. Math. Phys.", 1985, v. 100, № 2, p. 173; Kuzne- tsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E., Soliton stability in plasmas and hydrodynamics, "Phys. Repts", 1986, v. 142, № 3, p. 103; Grillakis M., Shatah J., Strauss W., Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I, II, "J. Funct. Anal.", 1987, v. 74, № 1, p. 160; 1990, v. 94, № 2, p. 308. Ю. П. Рыбаков.