«Статистический анализ случайных процессов»

раздел математической статистики, посвященный методам обработки и использования статистических данных, касающихся случайных процессов (См. Случайный процесс) (т. е. функций X(t) времени t, определяемых с помощью некоторого испытания и при разных испытаниях могущих в зависимости от случая принимать различные значения). Значение x(t) случайного процесса X(t), получаемое в ходе одного испытания, называется реализацией (иначе — наблюдённым значением, выборочным значением или траекторией) процесса X(t); статистические данные о X(t), используемые при статистическом анализе этого процесса, обычно представляютсобой сведения о значениях одной или нескольких реализаций x(t) в течение определенного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных с процессом X(t) (например, о наблюденных значениях процесса Y(t), являющегося суммой X(t) и некоторого «шума» N(t), созданного внешними помехами и ошибками измерения значений x(t)). Весьма важный с точки зрения приложений класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математической точки зрения эти задачи сводятся к статистической проверке гипотез (См. Статистическая проверка гипотез): здесь по наблюденным значениям некоторой функции требуется заключить, справедлива ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума N(t) и интересующего наблюдателя сигнала X(t), или же справедлива гипотеза о том, что она является реализацией одного лишь шума N(t). В случаях, когда форма сигнала X(t) не является полностью известной, задачи обнаружения часто включают в себя и задачи статистической оценки (См. Статистические оценки) неизвестных параметров сигнала; так, например, в задачах радиолокации очень важна задача об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта, породившего этот сигнал. Задачи статистической оценки параметров возникают и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса X(t) в течение определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров распределения вероятностей случайных величин X(t) или же, например, оценить значение в фиксированный момент времени t = t₁ самого процесса Х(t) (в предположении, что t₁ лежит за пределами интервала наблюдений за этим процессом) или значение y(t₁) какого-либо вспомогательного процесса Y(t), статистически связанного с Х(t) (см. Случайных процессов прогнозирование). Наконец, ряд задач С. а. с. п. Относится к числу задач на Непараметрические методы статистики; так обстоит дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса X(t) требуется оценить некоторые функции, характеризующие распределения вероятностей значений этого процесса (например, плотность вероятности величины Х(t), или корреляционную функцию Ex(t) X(s) процесса Х(t), или, в случае стационарного случайного процесса (См. Стационарный случайный процесс) X(t), его спектральную плотность f(λ)

При решение задач С. а. с. п. всегда требуется принять те или иные специальные предположения о статистической структуре процесса X(t), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов. Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый процесс X(t) является стационарным случайным процессом; при этом допущении, зная значения единственной реализации x(t) в течение промежутка времени 0 ≤t ≤ T, можно уже получить целый ряд статистических выводов о вероятностных характеристиках процесса X(t). В частности, среднеарифметическое значение

в случае стационарного случайного процесса X(t) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой математического ожидания Ex(t) = m (т. е. Т→∞ к истинному значению оцениваемой величины m); аналогично этому выборочная корреляционная функция

,

где τ > 0, при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции B(τ)=Ex(t) X(t + τ).

Однако Фурье преобразование функции I_T(λ) процесса X(t) — уже не представляет собой состоятельной оценки спектральной плотности f(λ), являющейся преобразованием Фурье функции В(τ); при больших значениях Т периодограмма I_T (λ) ведёт себя крайне нерегулярно и при Т → ∞ она не стремится ни к какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд специальных приёмов построения состоятельных оценок спектральной плотности f(λ) по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса X(t), большинство из которых основано на использовании сглаживания периодограммы процесса по сравнительно узкой области частот λ.

При исследовании статистических свойств оценок вероятностных характеристик стационарных случайных процессов очень полезными оказываются дополнительные допущения о природе X(t) (например, допущение о том, что все конечномерные распределения значений процесса X(t) являются нормальными распределениями вероятностей). Большое развитие получили также исследования по С. а. с. п., в которых предполагается, что изучаемый процесс X(t) является марковским процессом (См. Марковский процесс) того или иного типа, или компонентой многомерного марковского процесса, или компонентой многомерного процесса, удовлетворяющего определённой системе стохастических дифференциальных уравнений.

Лит.: Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения, пер. с англ., в. 1—2, М., 1971—72; Хеннан Э., Анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1964; его же, Многомерные временные ряды, пер. с англ., М., 1974: Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы), М., 1974.

А. М. Яглом.

- раздел математич. статистики и теории случайных процессов, посвященный исследованию и решению статистических задач случайных процессов.

И. А. Ибрагимов.