Большая Советская энциклопедия

    Ферми √ Дирака статистика,квантовая статистическая физика, применимая к системам тождественных частиц с полуцелым спином (1/2, 3/2,... в единицах Планка постоянной ). Ф. √ Д. с. предложена Э. Ферми в 1926; в том же году П. Дирак выяснил её квантовомеханический смысл. В квантовой физике состояние системы описывается волновой функцией, зависящей от координат и спинов всех её частиц. Для системы частиц, подчиняющихся Ф. √ Д. с. (фермионов), волновая функция антисимметрична, т. е. меняет знак при перестановке любой пары тождеств. частиц. В 1940 В. Паули доказал, что тип статистики однозначно связан со спином частиц (в отличие от частиц с полуцелым спином, совокупность частиц с целым спином подчиняется Бозе √ Эйнштейна статистике). Согласно Ф. √ Д. с., в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (Паули принцип). Для идеального газа фермионов (ферми-газа) в случае равновесия среднее число частиц в состоянии с энергией Ei определяется функцией распределения Ферми: , где буквой i помечен набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы, k √ Больцмана постоянная, Т √ абсолютная температура газа, m √ химический потенциал. Ф. √ Д. с. применима к ферми-газам и ферми-жидкостям. Д. Н. Зубарев.

  1. Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.



  2. Физическая энциклопедия

    ФЕРМИ-ДИРАКА СТАТИСТИКА

    (ферми-статистика) - квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с полуцелым (в единицах h )спином. Такие частицы наз. ферми-частицами или фермионами. К ним относятся, напр., электроны, нуклоны, ядра с нечётным числом нуклонов. Ф.- Д. с. предложена Э. Ферми (Е. Fermi) в 1926. В том же году П. Дирак (P. Dirac) выяснил её квантовомеханич. смысл: волновая ф-ция, описывающая систему из ферми-частиц, антисимметрична относительно перестановок координат и импульсов любой пары частиц. В. Паули (W. Pauli) в 1940 доказал ( Паули теорема), что тип статистики однозначно связан со спином частиц. В отличие от частиц с полуцелым спином, частицы с целым спином подчиняются Бозе - Эйнштейна статистике. Согласно Ф.- Д. с., в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Для идеального газа фермионов ( ферми-газа )в случае статистич. равновесия ср. число п. частиц в состоянии i определяется р а с п р е д е л е н и е м Ф е р м и-Д и р а к а (р а с п р е д е л е н и е м Ф е р м и):

    5055-38.jpg

    где 5055-39.jpg -энергия частицы в состоянии i (для нерелятивистской частицы с импульсом р и массой т равная р 2/2 т);m -химический потенциал, определяемый из условия равенства суммы всех 5055-40.jpg полному числу частиц в системе. При exp(-m/kT)>>1 Ф.- Д. с. переходит в Больцмана статистику.

    Распределение Ферми - Дирака получается при рассмотрении статистически равновесного состояния идеального ферми-газа как наиб. вероятного состояния, при учёте неразличимости частиц и принципа Паули. Пусть уровни энергии одночастичных состояний сгруппированы по малым ячейкам, содержащим Gi уровней, причём в каждой ячейке можно разместить Ni частиц. Вследствие принципа Паули на каждом уровне может находиться не более одной частицы (Ni<=Gi). Частицы считаются тождественными, поэтому их перестановки не меняют состояния. Статистич. вес такого состояния W равен числу разл. распределений частиц по ячейкам:

    5055-41.jpg

    Энтропия идеального газа, подчиняющегося Ф.- Д. с., равна.

    5055-42.jpg

    где 5055-43.jpg -ср. число частиц на уровне i.

    Наиб. вероятное состояние идеального ферми-газа можно найти из условия максимума статистич. веса (или энтропии) при заданном полном числе частиц 5055-44.jpg и энергии 5055-45.jpgпри этом оказывается, что 5055-46.jpgопределяется распределением Ферми - Дирака (1). Ф-ла (1) следует также из Гиббса распределения для идеального ферми-газа с уровнями энергии 5055-47.jpg где ni согласно Ф.- Д. с., может принимать лишь два значения: 0 и 1.

    Важное следствие Ф.- Д. с.- явление квантового вырождения ферми-газа (см. Вырожденный газ )при темп-ре 5055-48.jpg (5055-49.jpg -ферми-энергия), однако в отличие от бозе-газа это явление не связано с фазовым переходом. Особенно существенна Ф.- Д. с. для понимания свойств металлов и вырожденных полупроводников, в теории сверхпроводимости и сверхтекучести 3 Не.

    Ф.- Д. с. для системы взаимодействующих частиц основана на методе Гиббса для квантовых систем. Она может быть реализована, если известны квантовые уровни 5055-50.jpg системы и удаётся вычислить статистическую сумму Z, напр. для большого канонического распределения Гиббса

    5055-51.jpg

    где суммирование ведётся по всем квантовым уровням n, допустимым Ф.- Д. с., и по полному числу частиц N. Эта задача не сводится к простой комбинаторике и очень сложна, если взаимодействие между частицами не мало.

    Задачу вычисления Z можно упростить, если представить Z в инвариантной форме, не зависящей от представления статистического оператора:

    5055-52.jpg

    где Sp обозначает сумму диагональных матричных элементов статистич. оператора; Н- гамильтониан в представлении вторичного квантования, выраженный через ) одночастичного гамильтониана (без учёта взаимодействия между частицами). Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют перестановочным соотношениям Ф.- Д. с.:

    5055-53.jpg

    где dij -Кронекера символ. Гамильтониан Н может быть записан в более компактной форме через операторы вторичного квантования

    5055-54.jpg

    удовлетворяющие перестановочным соотношениям:

    5055-55.jpg

    где д(х -х')-дельта-функция Дирака, * - обозначает комплексное сопряжение. Тогда требования Ф.-Д. с. оказываются выполнены и в статистич. сумме будут учитываться лишь антисимметричные состояния.

    Представление вторичного квантования для Н даёт наиб. компактную и удобную форму для приложений Ф.-Д. с., в частности в теории конденсированных сред. Аналогичное представление имеет место и для статистики Бозе-Эйнштейна, причём антикоммутаторы следует заменить на коммутаторы.

    Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, ч. 1, 3 изд., М., 1976, p 54; Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш., Термодинамика, статистическая физика и кинетика, 2 изд., М., 1977, гл. 3.

    Д. <И. <Зубарев.

  3. Источник: Физическая энциклопедия



  4. Энциклопедический словарь

    Фе́рми-Дира́ка стати́стика

    Фе́рми—Дира́ка стати́стика, квантовая статистика для системы тождественных фермионов. Характерная особенность Ферми—Дирака статистики: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (Паули принцип). Применима к электронам проводимости в металлах, к электронам в атомных оболочках, нуклонам в атомных ядрах и др. Предложена в 1925 Э. Ферми, а П. Дирак установил её связь с математическим аппаратом квантовой механики.

    * * *

    ФЕРМИ-ДИРАКА СТАТИСТИКА

    ФЕ́РМИ — ДИРА́КА СТАТИ́СТИКА, квантовая статистика для систем тождественных фермионов(см. ФЕРМИОН). Характерная особенность статистики Ферми — Дирака: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (Паули принцип(см. ПАУЛИ ПРИНЦИП)). Применима к электронному газу в металлах, к электронам в атомных оболочках, нуклонам в атомных ядрах и др. Предложена в 1925 Э. Ферми, а П. Дирак(см. ДИРАК Поль) установил ее связь с математическим аппаратом квантовой механики(см. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА).

  5. Источник: Энциклопедический словарь



  6. Естествознание. Энциклопедический словарь

    квантовая статистика для системы тождеств. фермионов. Характерная особенность Ф.-Д.с.: в каждом квантовом состоянии может находиться не более одной частицы (Паули принцип). Применима к электронам проводимости в металлах, к электронам в атомных оболочках, нуклонам в атомных ядрах и др. Предложена в 1925 Э. Ферми, а П. Дирак установил её связь с матем. аппаратом квантовой механики.

  7. Источник: Естествознание. Энциклопедический словарь