«Моделей теория»

раздел математики, возникший при применении методов математической логики в алгебре. Ко 2-й половине 20 в. М. т. оформилась в самостоятельную дисциплину, методы и результаты которой находят применение как в алгебре, так и в др. разделах математики.

Основные понятия М. т. — понятия алгебраической системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого языка в данной алгебраической системе. Типичным примером алгебраической системы является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения, отношением порядка и выделенными элементами 0, 1. Простейшие высказывания об этой системе — высказывания типа: «х + у = z при х = 2, у = 3, z = 5», «x у = z при х = 4, у = 2, z = 8», «x <>у при х = 2, у = 3». Из простейших высказываний более сложные получаются при помощи пропозициональных связок «и», «или», «если..., то...», «не», а также кванторов «для каждого x...», «существует такое х, что...». Например, утверждение, что числа u и v взаимно просты, более подробно записывается в виде: «для каждых х, у и z, если u = х · у и v =х · z, то x = 1» и, значит, получается из простейших при помощи пропозициональных связок и кванторов.

В общем случае под алгебраической системой понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения называются основными в алгебраической системе. Каждой такой операции и каждому такому отношению ставится в соответствие определённый символ. Набор Ω этих символов называется сигнатурой алгебраической системы. Обычно изучаются классы алгебраических систем одной сигнатуры.

Важнейшим из формализованных языков является язык 1-й ступени. Алфавит этого языка состоит из набора Ω символов отношений и операций; знаков &, V, →, ⌉, ∀, ∃, обозначающих пропозициональные связки и кванторы (см. ниже); набора символов, называемых предметными переменными, а также скобок и запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается натуральное число, называемое местностью этого символа; оно равно числу аргументов той операции или того отношения, которым соответствует рассматриваемый символ. В число символов отношений включается специальный символ = для отношения равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные переменные являются термами. Если f — символ n-местной операции, а про g₁, ..., g_n уже известно, что они термы, то f(g₁, ..., g_n) есть тоже терм. Простейшие формулы — выражения вида P(g₁, ... , g_n), где Р есть n-местный символ отношения, а g₁, ..., g_n — термы. Более сложные формулы получаются из простейших с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных связок. Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются на свободные и связанные. Связанные те, которые находятся в области действия квантора по этому переменному, а остальные свободные. Например, в формуле

(∀x) (∃y) (f(x, у) = z V f(x, у) = u)

свободными являются z и u, ах и у связаны кванторами. Формулы без свободных переменных называются высказываниями. Каждая формула со свободными переменными x₁, ..., x_n на каждой алгебраической системе А сигнатуры Ω определяет n-местное отношение. Например, формула, записывающая утверждение, что числа u и v взаимно простые, определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, которое для пары (3, 5) истинно, а для пары (2, 4) ложно. Для простейших формул соответствующее отношение фактически задаётся самой системой А. Для более сложных формул соответствующее отношение определяется путём интерпретации кванторов и пропозициональных связок: (Ф₁ & Ф₂) интерпретируется как «Ф₁ и Ф₂», (Ф₁ V Ф₂) — как «Ф₁ или Ф₂», (Ф₁ → Ф₂) — как «если Ф₁, то Ф₂», ⌉Ф — как «неверно, что Ф», (∃x)Ф — как «для всех хФ», (∃х)Ф — как «существует х, для которого Ф». Согласно этому определению, каждое высказывание в каждой алгебраической системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо истинно. Например, если символу f ставится в соответствие операция сложения на натуральных числах, то формула (∀x) f(x, х) = f (f(x, х), х), утверждающая, что 2x = 3х для всех х, ложна на натуральных числах, а формула (∀x (f(x, x) = x→f(x, х) = f(f(x, х), х)), утверждающая, что если 2x = х, то 2x = 3х, истинна. Алгебраическая система А называется моделью данного множества Σ высказываний, если каждое высказывание из Σ истинно в А. Класс К алгебраических систем называется аксиоматизируемым, если К есть совокупность всех моделей некоторого множества высказываний. Многие важные классы алгебраических систем, например классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.

Изучение общих свойств аксиоматизируемых классов — важная часть М. т. Во многих случаях по форме высказываний из Σ удаётся судить о некоторых алгебраических свойствах класса всех моделей Σ. Например, тот факт, что гомоморфные образы и прямые произведения групп снова оказываются группами, есть следствие того, что класс групп может быть определён как совокупность всех моделей такой совокупности высказываний Σ, что каждое высказывание из Σ имеет вид (∀x₁)... ... (∀x_n)f = g, где f, g — термы.

Фундаментальный результат М. т. — локальная теорема Мальцева (1936), согласно которой если каждая конечная подсовокупность совокупности Σ высказываний имеет модель, то и Σ имеет модель. А. И. Мальцев нашёл многочисленные применения своей теоремы для доказательства т. н. локальных теорем алгебры.

Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лёвенхейма — Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счетной сигнатуры, содержащий бесконечные системы, содержит и счётную систему. В частности, нельзя написать такую совокупность высказываний, все модели которой были бы изоморфны одной бесконечной алгебраической системе, например полю комплексных чисел или кольцу целых чисел. Но тем не менее существуют аксиоматизируемые классы, все системы которых данной бесконечной мощности изоморфны.

Одной из важных конкретных совокупностей высказываний является совокупность, определяющая понятие множества. Это понятие описывается на языке 1-й ступени, сигнатура которого состоит из одного символа — символа бинарного отношения, интерпретируемого как «х есть элемент y». Существует несколько вариантов таких описаний, каждый из которых осуществляется при помощи своей совокупности высказываний. Эти совокупности называются системами аксиом для теории множеств. Развитие М. т. показало, что нельзя выбрать такую систему аксиом для теории множеств, которая удовлетворила бы все потребности математики (см. также Аксиоматическая теория множеств).

Центральная часть современной М. т. — это изучение элементарных теорий, т. е. теорий, описываемых на языке 1-й ступени. Однако постепенно всё возрастающее место отводится и изучению теорий, описываемых при помощи более богатых языков.

Историческая справка. Основные понятия М. т. возникли в математике в 19 в., главным образом в работах по основаниям геометрии. К понятию модели данного множества высказываний вплотную подошёл Н. И. Лобачевский в работах по геометрии. В полной мере оно появилось в работах Э. Бельтрами и Ф. Клейна, построивших модели геометрии Лобачевского. Современной формулировки основных понятий М. т. сложились в работах школ Д. Гильберта и А. Тарского (См. Тарский). М. т. возникла в начале 30-х гг. 20 в. в результате применения методов математической логики в алгебре, одним из инициаторов которого был А. И. Мальцев.

Лит.: Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, пер. с англ., М., 1967.

А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин.

МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ

МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математической логики, изучающий модели формальных теорий, соотношения между моделями и теориями и преобразования моделей. Предшественниками теории моделей были Б. Больцано и Э. Шредер, осознавшие понятие выполнимости формулы на интерпретации. В настоящий момент теория моделей делится на следующие разделы: Классическая теория моделей (КМТ), изучающая теоретикомножественные модели классических теорий.

Алгебраическая теория моделей (ATM), изучающая прежде всего модели неклассических логик, базирующиеся на обобщенной семантике истинностных значений.

Теория моделей Крипке (СВМ), изучающая модели неклассических логик, базирующиеся на возможных миров семантике.

Интерпретации реализуемости (ИР), моделирующие логики и теории как исчисления задач.

КМТ берет начало от работ Лёвенгейма (1915) и Скулема (1920), установивших существование моделей любой бесконечной мощности для любой непротиворечивой теории, имеющей бесконечную модель. Этот результат вначале рассматривался как парадоксальный, потому что из него следовало существование счетных моделей несчетных множеств, а мощность множества в те времена содержательно интерпретировали как число элементов, по аналогии с конечными множествами, а не как сложность его задания, как сейчас делается по аналогии с теорией алгоритмов. Фундаментальным результатом КМТ явилась теорема Геделя о полноте классической логики предикатов (первого порядка), из которой следует существование моделей у любых (основанных на этой логике) непротиворечивых теорий. В 70-е гг. выяснилось, что теорема Геделя о полноте эквивалентна аксиоме выбора множеств теории.

Если задана некоторая сигнатура (перечисление констант, функциональных символов и предикатов вместе с числом аргументов у них), то (классической) интерпретацией данной сигнатуры является непустое множество объектов — универсум интерпретации, и функция вычисления значения ζ, сопоставляющая каждой константе — элемент универсума, я-местной функции/— функционал Ü" -> U, “-местному предикату Ρ — функционал V -> {0,1}. В интерпретации естественно определяется понятие значения любого терма и любой формулы теории (точное определение истинности формулы в интерпретации было впервые дано А. Тарским). Интерпретация называется моделью теории, если в ней истинны все аксиомы теории. Еще одной формулировкой теоремы полноты Геделя является совпадение множества теорем с множеством формул, истинных в любой модели теории.

По теореме Мальцева о компактности, теория имеет модель тогда, и только тогда, когда любое конечное число ее аксиом имеет модель. Эта теорема послужила основой для построения нестандартных моделей традиционных математических объектов, таких, как действительные и натуральные числа.

В самом деле, взяв в качестве теории все истинные на стандартной модели формулы и добавив новое число ω и бесконечную совокупность аксиом ω>0,ω>1,ω >η, мы получаем, что любая конечная совокупность новых аксиом удовлетворяется на стандартной модели. Значит, есть и модель, где они все выполнены. Она сохраняет все выразимые на языке логики предикатов свойства стандартной модели, но пополнена новыми элементами.

Позитивно использовал существование нестандартных моделей А. Робинсон (1960). Он показал, что в нестандартной модели анализа можно на строгой основе возродить методы математиков 17—18 вв., использовавших бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основополагающим явился здесь результат, что любое конечное нестандартное число однозначно разлагается в сумму стандартного и бесконечно малого. Далее, сохранение всех выразимых свойств используется для установления принципов переноса, которые позволяют отбрасывать бесконечно малые либо доказывать общее утверждение о стандартных числах на основе рассмотрения одной бесконечно малой либо бесконечно большой величины. Но здесь приходится строго разделять формулы стандартного языка и формулы метаязыка, говорящего о нестандартной модели. В частности, утверждения, явно включающие предикат “быть (нестандартным”, уже могут нарушать все свойства стандартной модели. Дальнейшее развитие нестандартного анализа привело к теории полумножеств Г. Хаека и к альтернативной теории множеств С. Вопенки, где конечные нестандартные совокупности могут включать бесконечные подклассы.

Современная КМТ развивается во многих направлениях, большинство из которых в данный момент имеют дело со сложнейшими идеальными математическими понятиями (абстрактными объектами) без выхода на общенаучные либо методологические результаты. Правда, приятным исключением является совокупность теорем, характеризующих теории частного вида через их модели. V-теория — это теория, все аксиомы которой имеют вид VJЈ4(x), где χ — совокупность переменных, и А не содержит кванторов. Теорема Лося. Теория представима как V-теория тогда, и только тогда, когда каждая подсистема ее модели также является ее моделью.

Эта теорема при внешней простоте формулировки требует использования абстрактных и сложных конструкций КМТ. Таковы же и другие теоремы характеризации. В частности, совокупность систем называется многообразием, если она является множеством моделей теории с аксиомами вида ^xP(t(x)), где Р— предикат. Многообразия — это V-теории, модели которых сохраняются при гомоморфизмах. Теоремы характеризации используются в современной информатике для описания абстрактных типов данных. ATM началась с предложенной Линденбаумом и Тарским концепции, согласно которой любая теория может рассматриваться как алгебра, операциями которой являются логические связки, а объектами — классы формул, для которых доказуема эквивалентность. Такая алгебра называется алгеброй Линденбаума-Тарского (ЛТ — алгеброй) теории. ЛТ — алгебра классической теории — булева алгебра. ЛТ — алгебра интуиционистской — псевдобулева, теории в модальной логике S4 — булева алгебра с замыканиями. Данный подход был вторым основанием и инструментом для построения альтернативной теории множеств. Для неклассических логик он математически эквивалентен СВМ и поэтому в последнее время употребляется менее интенсивно. Трудностью в ATM является интерпретация кванторов. Для данной цели была развита теория цилиндрических алгебр.

Семантика возможных миров (СВМ) предлагалась уже Аристотелем, который рассматривал теорию модальных суждений. Ее предшественником можно считать Г. Лейбница, который явно ввел понятие возможного мира. В современном виде она впервые была предложена для частного случая интуиционистской логики Э. Бетам (1954) и последовательно развита для целого ряда логик С. Кринке, имя которого она и получила.

При СВМ интерпретациях имеется некоторая алгебраическая система классических (либо, в более тонких случаях, алгебраических) моделей, называемых мирами, связанных отношениями и порою функциями. Для модальных логик СВМ интерпретации обычно используют единственное бинарное отношение достижимости.

Логика L называется шкальной, если любая интерпретация с той же системой миров, что у модели L, также является моделью L. Т. о., шкальные логики накладывают ограничения не на отдельные миры, а на их внешние взаимосвязи.

Один из интереснейших результатов современной СВМ — перечисление всех суперинтуиционистских и модальных пропозициональных логик, обладающих интерполяционным свойством Крейга: для любой доказуемой импликации А =” В найдется формула С, содержащая лишь термины, общие для А и В, такая, что доказуемы А=>СиС=”В.В работах Л. Л. Максимовой показано, что логик, обладающих свойством Крейга, конечное число.

Математическая структура вынуждения, использованная П. Дж. Козном как промежуточный шаг для построения нестандартных классических моделей теоретико-множественных систем, позднее получила название моделей Крипке для интуиционистской логики. С их помощью решена проблема 1ильберта: доказана независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Далее, теми же методами установлена невозможность явного построения, в частности, неизмеримого множества действительных чисел и нестандартной модели анализа. Исторически это было одно из первых использований СВМ. Последний класс моделей — ИР. Колмогоровская интерпретация допускает значительную гибкость в классе используемых функционалов, поэтому в ИР используются и алгоритмы, и топологические пространства с непрерывными преобразованиями, и категории, и формальные выводы, и комбинации данных объектов.

Наиболее значительные в методологических аспектах результаты, полученные при помощи ИР за последнее время, следующие. Доказана совместимость с интуиционистской математикой моделей брауэровских концепций творящего субъекта и беззаконных последовательностей (см. Интуиционизм) и построены модели вычислимости, основанные на данных концепциях. Т. о., обосновано, что содержательный вычислительный метод может быть представлен как композиция алгоритма, творческого процесса и физических измерений. Доказано, что для многих аксиоматических систем добавление аксиомы выбора к конструктивному анализу и к теории множеств с интуиционистской логикой не нарушает эффективности доказательств. Т. о., аксиома выбора на самом деле не приводит сама по себе к чистым теоремам существования; в данном смысле она концептуально противоречит исключенного третьего закону, который с необходимостью приводит к таким теоремам.

Лит.: Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. М., 1977; Максимова Л. Л. Интерполяционные свойства суперинтуиционистских, модальных и позитивных логик.— В кн.: Модальные и интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки. М., Наука, 1984.

H. H. Непейвода

- раздел математической логики, изучающий математические модели.

Начало М. т. относится к 30-м гг. 20 в., когда были доказаны следующие две основные теоремы.

Теорема 1 (теорема Гёделя - Мальцева). Если каждая конечная подсовокупность совокупности Твысказываний языка 1-й ступени совместима, то совместна и вся совокупность Т(см. [1]).

Теорема 2 (теорема Лёвенхейма - Сколема - Мальцева). Если совокупность высказываний языка 1-й ступени сигнатуры Wимеет бесконечную модель, то она имеет модель любой бесконечной мощности, не меньшей мощности сигнатуры W.

Теорема 1, называемая теоремой компактности, получила широкое применение в алгебре. На основе этой теоремы А. И. Мальцев создал метод доказательства локальных теорем алгебры (см. Мальцева локальные теоремы).

Пусть А- алгебраич. система сигнатуры - основное множество системы обозначает сигнатуру, получаемую из добавлением символов выделенных элементов для всех , а обозначает алгебраич. систему сигнатуры , к-рая является обогащением алгебраич. системы Aи в к-рой для каждого символ интерпретируется элементом а. Множество всех замкнутых формул сигнатуры языка 1-й ступени, истинных в системе , наз. описанием алгебраической системы А, а множество D(А)тех формул из О(А), к-рые являются либ. <о атомными, либо отрицаниями атомных, наз. диаграммой А. Алгебраич. система Вназ. элементарным расширением алгебраич. системы А, если и есть модель для . В этом случае Аназ. элементарной подсистемой В. Напр., множество рациональных чисел вместе с обычным отношением порядка является элементарной подсистемой системы действительных чисел с обычным отношением порядка.

Подсистема Аалгебраич. системы Всигнатуры тогда и только тогда является элементарной подсистемой системы В, когда для каждой замкнутой формулы языка 1-й ступени сигнатуры , истинной в , найдется такой , что истинна в . Из этого критерия сразу следует, что объединение возрастающей цепочки элементарных подсистем является элементарным расширением каждой из этих систем. Если замкнутая -формула языка 1-й ступени истинна в каждой системе возрастающей цепочки систем, то эта формула истинна и в объединении этой цепочки (см. [1]).

Пусть сигнатура содержит символ Uодноместного отношения. Говорят, что модель Атеории Тсигнатуры имеет тип , если мощность Аравна , а мощность равна

Теорема Вота: если элементарная теория Тсчетной сигнатуры имеет модель типа , где , то Тимеет модель типа (см. [7], [10]). В предположении, что справедлива обобщенная гипотеза континуума, элементарная теория счетной сигнатуры имеет модель типа для каждого , если она имеет модель типа (см. [10]). При этом же предположении теория Тh(А), где сигнатура Аесть - множество всех действительных чисел, - множество целых чисел, а определены обычным образом, не имеет модели типа

Пусть обозначает обогащение алгебраич. системы Апри помощи предиката , а - сигнатуру, полученную из присоединением предикатного символа Р. Во многих случаях важно понять, когда в каждой системе из класса Калгебраич. систем сигнатуры предикат Рзадается формулой языка 1-й ступени сигнатуры . Частичный ответ на этот вопрос дает теорема Бета: тогда и только тогда существует формула языка 1-й ступени сигнатуры такая, что формула истинна на всех системах аксиоматизируемого класса Ксигнатуры , когда множество содержит не более одного элемента для каждой алгебраич. системы Асигнатуры (см. [2]).

Многие исследования по М. т. связаны с изучением свойств, сохраняющихся при операциях над алгебраич. системами. К числу важнейших операций относятся гомоморфизмы, прямые и фильтрованные произведения.

Говорят, что высказывание Ф устойчиво относительно гомоморфизмов, если из истинности Ф в алгебраич. системе Аследует истинность Ф во всех эпиморфных образах А. Формула Ф языка 1-й ступени наз. положительно й, если Ф не содержит знаков отрицания и импликации. Доказано (см. [1]), что высказывание Ф языка 1-й ступени устойчиво относительно гомоморфизмов тогда и только тогда, когда Ф эквивалентно положительному высказыванию. Аналогичная теорема верна и для языка

Формула языка 1-й ступени сигнатуры наз. хорновской, если она может быть получена конъюнкциями и навешиванием кванторов из формул вида где - атомные формулы языка 1-й ступени сигнатуры . Примерами хорновских формул являются тождества и квазнтождества. Центральной в теории ультрапронзведений является теорема Лося : всякая формула языка 1-й ступени фильтруется по любому ультрафильтру (см. [1]). Формула языка 1-й ступени условно фильтруется по любому фильтру тогда и только тогда, когда эта формула эквивалентна хорновской формуле. Имеет место теорема (см. [9]): алгебраич. системы Аи Всигнатуры тогда и только тогда элементарно эквивалентны, когда существует такой ультрафильтр Dна множестве , что и изоморфны. Мощность фильтрованного произведения бесконечна, если для каждого натурального пчисло сомножителей мощности пконечно. Если для каждого натурального пмножество тех индексов, для к-рых соответствующий сомножитель имеет мощность п, не принадлежит D, то мощность ультрапроизведения по неглавному ультрафильтру Uна счетном множестве I равна континууму. Для каждого бесконечного I мощности существует такой фильтр Dна I, что для каждого фильтра на I, содержащего D, и каждого бесконечного множества Амощность не меньше (см. [1]).

Много применений находит теорема о существовании моделей с большим числом автоморфизмов (см. [3]): для любого линейно упорядоченного множества Xв аксиоматизируемом классе Калгебраич. систем, содержащем бесконечную систему, существует такая система А, что и каждое сохраняющее порядок одно-однозначное отображение Xна Xпродолжается до автоморфизма А.

Важными понятиями М. т. являются понятия универсальной, однородной и насыщенной систем. Пусть Аи В - алгебраич. системы сигнатуры . Отображение f множества во множество наз. элементарным, если для каждой формулы языка 1-й ступени сигнатуры и любых имеет место эквивалентность . Система Аназ. -универсальной, если для каждой системы В, элементарно эквивалентной системе Аи имеющей мощность, не превосходящую , существует элементарное отображение в . Система Аназ. -однородной, если для любого множества , мощность к-рого меньше , каждое элементарное отображение в продолжается до элементарного отображения на (т. е. до автоморфизма А). Система Асигнатуры наз. -насыщенной, если для каждого множества , мощность к-рого меньше , и каждой совокупности формул языка 1-й ступени сигнатуры , не содержащих свободных переменных, отличных от , из конечной выполнимости в следует выполнимость в . Система Аназ. универсальной (соответственно однородной или насыщенной), если и Аявляется универсальной (соответственно -однородной или насыщенной), где есть мощность . Система тогда и только тогда насыщена, когда она одновременно универсальна и однородна. Две элементарно эквивалентные насыщенные системы одной мощности изоморфны (см. [3]). Все несчетные модели категоричной в несчетных мощностях элементарной теории счетной сигнатуры насыщены (теорема Морли, см. [3], [8]). Большое число примеров -насыщенных систем доставляют ультрапроизведения. Напр., если D- неглавный ультрафильтр на счетном множестве , то является -насыщенной системой для любых алгебраич. систем счетной сигнатуры .

Основными задачами М. т. являются изучение выразительной возможности формализованного языка и изучение классов структур, определимых средствами этого языка. Найдены нек-рые важные свойства стабильных теорий, еще более детально изучены классы категоричных и суперстабильных теорий.

Основным аппаратом при изучении стабильных теорий является классификация формул и локально совместных множеств формул в этих теориях.

Такая классификация осуществляется путем приписывания формулам рангов. Эти ранги обычно принимают в качестве значений ординалы, а рангующие функции задаются с помощью специальных топологий или другим способом. Изучение рангующих функций и их усовершенствование - богатый источник информации о теориях.

В изучении классов моделей выясняют число различных с точностью до изоморфизма моделей теории в рассматриваемой мощности и наличие специальных моделей, напр, простых, минимальных, насыщенных, однородных, универсальных, конструктивизируемых и т. п., и создают способы их построения.

Классич. примерами применения методов М. т. в математич. анализе являются работы А. Робинсона (A. Robinson) и его школы, сформировавшиеся в самостоятельную науку - нестандартный анализ;благодаря работам А. И. Мальцева и его школы развивается применение методов М. т. в топологич. алгебре; новейшие результаты о свойствах стабильных теорий находят использование при изучении конкретных алгебраич. вопросов.

Перечисленные выше проблемы встают и при изучении различных неэлементарных языков, напр., получаемых добавлением новых кванторов, введением в рассмотрение бесконечных выражений, модальностей и т. п.

Лит.:[1] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [2] Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры, пер. с англ., М., 1967; [3] Тайцлин М. А., Теория моделей, Новосиб., 1970; [4] Ершов Ю. Л., Проблемы разрешимости и конструктивные модели, М., 1980; [5] Ершов Ю. Л., Палютин Е. А., Математическая логика, М., 1979; [6] Ершов Ю. Л. [и др.]. "Успехи матем. наук", 1965, т. 20, в. 4, с. 37 -108; [7] Мальцев А. И.,Тр. Четвертого Всесоюзного математического съезда, т. 1, Л., 1963, с. 169-98; [8] Кейслер Г., Чэн Ч. Ч., Теория моделей, пер. с англ., М., 1977; [9] Сакс Д ж.,, Теория насыщенных моделей, пер. с англ., М., 1976; [10] Vaught R.L., в сб.: Infinistic methods, N. Y. [а. о.], 1961, р. 303-21; [11] Моrlеу М., Vaught R.,"Math. scand.", 1962, v. 11, fasc. 1, p. 37-57; [12] Mоrleу М., "Trans. Amer. Math. Soc", 1965, v. 114, № 2, p. 514-38; [13] Shclah S., Classification theory and the number of non-isomorphic models, Amst., 1978; [14] Bell I. L., Slоmsоn А. В., Models and ultraproduets. An introduction, Amst.- L., 1969.

А. Д. Тайманов, M. А. Тайцлин.