«Ньютона метод»

метод приближённого нахождения корня x₀ уравнения f(x)= 0, называемый также методом касательных. Н. м. состоит в том, что по исходному («первому») приближению х = a₁ находят второе (более точное), проводя касательную к графику (см. рис.) у = f(x)в точке А [а₁ f(a₁)] до её пересечения с осью Ox; точка пересечения х = a₁ — f(a₁)/f’(a₁) и принимается за новое значение a₂. корня. Повторяя в случае необходимости этот процесс, получают всё более и более точные приближения a₂, a₃,... корня x₀ при условии, что производная f’(x) монотонна и сохраняет знак на сегменте, содержащем x₀. Ошибка ε₂ = x₀ —a₂ нового значения a₂ связана со старой ошибкой ε₁ = x₀ — a₁ формулой f(x) в некоторой точке x, лежащей между x₀ и a₁. Иногда рекомендуется Н. м. применять одновременно с к.-л. другим способом, например с Линейного интерполирования методом. Н. м. допускает обобщения, которые позволяют применять его для решения уравнений F(x)= 0 в нормированных пространствах (F— оператор в этом пространстве), в частности для решения систем уравнений и функциональных уравнений. Метод разработан И. Ньютоном в 1669.

Рис. к ст. Ньютона метод.

метод касательны х,- метод приближенного нахождения корней действительного уравнения

где f - дифференцируемая функция. Последовательные приближения Н. м. вычисляются по формулам

Если функция дважды непрерывно дифференцируема, - простой корень уравнения (1) и начальное приближение лежит достаточно близко к , то Н. м. обладает квадратичной сходимостью, т. е.

где с - константа, зависящая только от функции f и начального приближения

Часто вместо (2) для решения задачи (1) применяется т. н. модифицированный метод Ньютона:

При тех же предположениях, при к-рых Н. м. имеет квадратичную сходимость, метод (3) имеет линейную сходимость, т. е. сходится со скоростью геометрия, прогрессии со знаменателем меньше единицы.

Применительно к решению нелинейного операторного уравнения с оператором где и - нек-рые банаховы пространства, обобщение (2) наз. методом Ньютона-Канторовича. Формулы этого метода имеют вид

где - производная Фреше оператора Ав точке , являющаяся обратимым оператором, действующим из в. При специальных предположениях метод Ньютона - Канторовича обладает квадратичной сходимостью, а соответствующий модифицированный метод - линейной сходимостью.

Н. м. разработан И. Ньютоном (I. Newton, 1669). Лит.:[1] Канторович Л. В., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 6, с. 89 - 185; [2] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [3] Коллатц Л., Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969; [4] Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [5] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975.

Ю. А. Кузнецов.