«Штрафных функций метод»

метод сведения задач об отыскании условного (относительного) экстремума функций к задачам отыскания безусловного (абсолютного) экстремума. Рассмотрим Ш. ф. м. на примере задач математического программирования. Пусть требуется минимизировать функцию φ(х) на множестве X ={x: f_i (x) ≥ 0, I= 1, 2,... m}n-мерного евклидова пространства. Штрафной функцией, или штрафом (за нарушение ограничений f_i (x) ≥ 0, i = 1, 2,... m), называют функцию ψ (х,а), зависящую от х и числового параметра а> 0, обладающую след. свойствами: ψ(х, а) = 0, если х∈ Хи ψ(х, а) > 0, если x∉ X. Построим функцию M(x, α) = φ(x) + ψ(х, α) и обозначим через x(α) любую точку её безусловного глобального минимума. Пусть х, α) выбирают таким образом, чтобы φ(x(α))→ φ* при α → +∞. В качестве φ(х, α) часто выбирают функцию

, q≥ 1.

Выбор конкретного вида функции ψ(x, α) связан как с проблемой сходимости Ш. ф. м., так и с проблемами, возникающими при решении задачи безусловной минимизации функции М(х, α).

В несколько более общей постановке Ш. ф. м. заключается в сведении задачи минимизации функции φ(х) на множестве Хк задаче минимизации некоторой параметрической функции М(х, α) на множестве более простой структуры с точки зрения эффективности применения численных методов минимизации, чем исходное множество X.

Лит.: Моисеев Н. Н., Элементы теории оптимальных систем, М., 1975; Фиакко А., Мак-Кормик Г., Нелинейное программирование, пер. с англ., М., 1972; Сеа Ж., Оптимизация, пер. с франц., М., 1973.

В. Г. Карманов.

метод сведения условно-экстремальных задач к задачам безусловной оптимизации. Проиллюстрировать Ш. ф. м. можно на примере задач математического программирования. Рассматривается задача минимизации функции на множестве из п-мер-ного евклидова пространства. Штрафной функцией, или штрафом (за нарушение ограничений i - 1, 2,..., т), наз. функция зависящая от хи числового параметра обладающая следующими свойствами: если и если Пусть является любой точкой безусловного глобального минимума функции. а X*- множеством решений исходной задачи. Функцию выбирают таким образом, чтобы расстояние между точками и множеством X* стремилось к нулю при либо, если это не удается гарантировать, чтобы выполнялось соотношение

В качестве часто выбирают функцию

Выбор конкретного вида функции связан как с проблемой сходимости Ш. ф. м., так и с проблемами, возникающими при решении задачи безусловной минимизации функции

В несколько более общей постановке Ш. ф. м. заключается в сведении задачи минимизации функции на множестве Xк задаче минимизации нек-рой параметрич. функции на множестве более простой структуры, с точки зрения эффективности применения численных методов минимизации, чем исходное множество X.

Имеет место следующий весьма общий результат, иллюстрирующий универсальность Ш. ф. м. Пусть Uи V- рефлексивные банаховы пространства; R -расширенная действительная прямая; -функция, определенная на Uсо значениями в R, слабо полунепрерывная снизу; f_i, i= 1,2,..., т - функции, определенные на Uсо значениями в R, непрерывные в слабой топологии пространства U; h_j, j= 1, 2,..., п- функции, определенные на . со значениями в V, непрерывные в слабых топологиях пространств . и V; множество i = l, 2,..., т; h_j(x) =0, не пусто. Рассматривается задача отыскания таких что

Для функции

при рассматривается задача отыскания таких i = l, 2,..., т, что

для всех Если то каждая слабо предельная точка произвольной последовательности является решением задачи (*) т, кроме того,

Лит.:[1] Моисеев Н. Н., ИваниловЮ. П., Столярова Е. М., Методы оптимизации, М., 1978; [2] Васильев Ф. П., Численные методы решения экстремальных задач, М., 1980; [3] Фиакко А. В., Мак-Кормик Г. П., Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации, пер. с англ., М., 1972; [4] Сеа Ж., Оптимизация, пер. с франц., М., 1973.

В. Р. Карманов.