«Штурма - Лиувилля задача»

задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения

-[p(x) y']' + q(x) y =λy, (1)

удовлетворяющих граничным условиям вида

A₁y(a) + B₁y'(a) =0,А₂у(b) + B₂y'(b) =0

(т. н. собственных функций (См. Собственные функции)), а также о нахождении значений параметра λ (собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты р(х),q(x) Ш.—Л. з. можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида

-y" + q(x) y =λy. (2)

Была впервые (1837—41) исследована Ж. Лиувиллем (См. Лиувилль) и Ж. Ш. Ф. Штурмом.

Решение некоторых видов уравнений математической физики методом Фурье приводит к Ш.— Л. з. Например, задача о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах, приводит к Ш.— Л. з. для уравнения —у" =λус граничными условиями y(0) = y(π)= 0. В этом случае существует бесконечная последовательность значений 1², 2²,..., n²,..., которым соответствуют собственные функции sinnx, образующие на отрезке [0, π] полную ортогональную систему функций (см. Ортогональная система функций). Аналогично обстоит дело и в общем случае, возникающем, например, при изучении распространения тепла в неоднородном стержне и т.д. И здесь, если функция q(x)в уравнении (2) непрерывна и действительна на отрезке [a, b],a A₁,B₁,A₂,B₂— действительные числа, существует возрастающая последовательность действительных собственных значений λ₁,...,λ_п,..., стремящаяся к бесконечности, причём каждому из λ_п соответствует определённая с точностью до постоянного множителя собственная функция φ_п (х),имеющая n нулей на участке аФункции φ_п (х) образуют на [а, b] полную ортогональную систему функций [для уравнения (1) имеет место ортогональность с весом р(х)]. Полнота такой системы функций была доказана В. А. Стекловым в 1896. Весьма общие теоремы о разложении функций в ряды Фурье по системе φ_п (х) доказал Д. Гильберт (1904) с помощью теории линейных интегральных уравнений. При возрастании п собственные значения и собственные функции Ш.― Л. з. для уравнения (2) стремятся к собственным значениям и собственным функциям для уравнения —у" =λу при тех же граничных условиях. Большинство встречающихся в математике ортогональных систем функций, например, многочлены Лежандра, многочлены Эрмита, являются системами собственных функций некоторых Ш.— Л. з.

Иногда Ш.— Л. з. называют краевую задачу для уравнения (1) при более общих краевых условиях:

α_iy(а) + β_iy'(а) + γ_iy(b) + δ_iy'(b) =0,i= 1, 2,

где α_i, β_i,γ_i, δ_i — постоянные числа. Среди краевых условий такого вида наиболее важными являются у (а)= у(b),y'(a)=y'(b) (периодические условия) и у(а)= —у(b), у'(а)= —y'(b) (полупериодические условия).

Многие задачи математической физики (например, задача о распространении тепла в бесконечном неоднородном стержне) приводит к Ш.— Л. з. на полуоси или на всей оси. В 1-м случае рассматриваются решения уравнения (2), удовлетворяющие условию A₁y(0)+B₁y'(0) = 0; вместо последовательности собственных функций здесь появляется совокупность собственных функций φ(х, λ), зависящих от непрерывно изменяющегося параметра λ. Вместо разложения в ряды Фурье рассматриваются разложения вида

,

где ρ(λ)— некоторая неубывающая функция. Эти разложения аналогичны Фурье интегралу. При этом

и

.

Аналогичные факты имеют место и для Ш.— Л. з. на всей оси. Для некоторых задач математической физики важное значение имеет обратная Ш.—Л. з., т. е. задача о восстановлении дифференциального уравнения по функции ρ(λ). Эта задача была поставлена в частном случае В. А. Амбарцумяном, а в более общем случае швед. математиком Г. Бортом и решена М. Г. Крейном, И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном.

Ш.— Л. з. возникает также в некоторых вопросах квантовой механики и вариационного исчисления.

Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., 3 изд., т. 1, М.— Л., 1951; Сансоне Дж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1, М., 1953; Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.— Л., 1950.

- задача, порожденная на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной хуравнением

и нек-рыми граничными условиями, где р(х) и r(х) положительны, l(х)действительна, а - комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи положили Ш. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Лиувилль (J. Liouville). Понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения Ш.- Л. з., сыграли большую роль в развитии многих направлений математики и физики. Она была и остается постоянным источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных вопросов анализа. Особое значение приобрела она в последнее время после открытия связи с нек-рыми нелинейными эволюционными уравнениями математич. физики.

Если р(х)дифференцируема, а р(х)r(х) - дифференцируема дважды, то уравнение (1) с помощью подстановки сводится к виду (см. [1])

Принято различать регулярные и сингулярные задачи. Ш.- Л. з. для уравнения (2) наз. рeгулярной, если интервал ( а, b) изменения переменной хконечен и если функция q(х)суммируема во всем интервале ( а, b). Если же интервал ( а, b )бесконечен или q (х)несуммируема (или и то и другое), то эта задача наз. сингулярной.

Ниже рассматриваются в отдельности следующие случаи: 1) интервал (a, b) конечен, в этом случае, не нарушая общности, можно считать, что а=0и 2) a = 0, 3)

1. Рассматривается задача, порожденная на сегменте уравнением (2) и разделенными граничными условиями

где q(х) - действительная суммируемая на сегменте функция, hи Н - произвольные конечные или бесконечные фиксированные действительные числа, - комплексный параметр. Если , то первое (второе) условие в (3) заменяется условием у(0)=0 Для определенности далее предполагается, что числа, участвующие в граничных условиях, конечны.

Число наз. собственным значением задачи (2), (3), если при уравнение (2) имеет нетривиальное решение удовлетворяющее граничным условиям (3); при этом функция у ₀ (х) наз. собственной функцией, соответствующей собственному значению

Собственные значения граничной задачи (2), (3) действительны; каждому собственному значению соответствует единственная линейно независимая собственная функция (в силу действительности q(х) и чисел h, Нсобственные функции задачи (2), (3) можно выбрать действительными); собственные функции у ₁ (х) и у ₂ (х). соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, т. е.

Существует неограниченно возрастающая последовательность собственных значений граничной задачи (2). (3); при этом собственная функция у _n (х). соответствующая собственному значению имеет ровно пнулей в интервале

Пусть - пространство Соболева, состоящее из заданных на сегменте комплекснозначных функций, к-рые имеют т-1 абсолютно непрерывных производных и производную порядка т, суммируемую на сегменте Если то собственные значения граничной задачи (2), (3) при больших n удовлетворяют асимптотич. равенству (см. [4]):

где - независимые от пчисла,

не зависит от h, H и

Отсюда, в частности, следует, что если то где

Поэтому ряд сходится. Его сумма наз. регуляризованным следом задачи (2), (3) (см. [13]):

Пусть v₀(x), v₁(x),...- ортонормированные собственные функции задачи (2), (3), соответствующие собственным значениям Для каждой функции имеет место так наз. равенство Парсеваля где и справедлива формула разложения по собственным функциям

где ряд сходится в метрике пространства

Теоремы полноты и разложения для регулярной Ш.- Л. з. впервые доказаны В. А. Стекловым [14].

Если функция f(x) имеет вторую непрерывную производную и удовлетворяет граничным условиям (3), то справедливы следующие утверждения (см. (15]):

а) ряд (4) сходится абсолютно и равномерно на сегменте к функции f(x);

б)один раз продифференцированный ряд (4) сходится абсолютно и равномерно на сегменте к f'(x);

в) в каждой точке, в к-рой f "(x) удовлетворяет какому-либо локальному условию разложения в ряд Фурье (напр., имеет ограниченную вариацию), дважды продифференцированный ряд (4) сходится к f"(x).

Для любой функции ряд (4) является равномерно равносходящнмся с рядом Фурье функции f(x) по cos nx, т. е.

где

Это утверждение означает, что разложение функции f(x)по собственным функциям граничной задачи (2), (3) сходится при тех же условиях, что и разложение f(х)в ряд Фурье по косинусам (см. [1], [4]).

2. Рассматривается дифференциальное уравнение (2) на полуоси с граничным условием в нуле:

Функция q(x)предполагается действительной и суммируемой в каждом конечном подинтервале интервала а число hдействительным.

Пусть - решение уравнения (2) с начальными условиями y(0) = 1, y'(0)=h (так что удовлетворяет и граничному условию (5)). Пусть f(x) -любая функция из и где b- произвольное конечное положительное число. Для каждой функции q(х) икаждого числа hсуществует, по крайней мере, одна, не зависящая от f(x), неубывающая функция обладающая следующими свойствами:

а) существует функция являющаяся пределом при в метрике (пространства -измеримых функций для к-рых

т. е.

б) имеет место равенство Парсеваля

Функция наз. спектральной функцией (или спектральной плотностью) граничной задачи (2), (5) (см. [9] - [11]).

Для спектральной функции задачи (2), (5) справедлива асимптотич. формула (см. [16]) (в уточненном виде см. [17]):

Справедлива следующая теорема равносходимости: для произвольной функции пусть

(интегралы сходятся в метриках пространств и соответственно); тогда при каждом фиксированном сходится интеграл

абсолютно и равномерно относительно и

Пусть задача (2), (5) имеет дискретный спектр, т. е. ее спектр состоит из счетного числа собственных значений с единственной предельной точкой в бесконечности. При определенных условиях на функцию q(х)для функции т. e. числа собственных значений, меньших справедлива асимптотич. формула:

Наряду с решением вводится второе решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям так что и образуют фундаментальную систему решений уравнения (2). При фиксированных числах и b>0 рассматривается дробно-линейная функция

Когда независимая переменная tпробегает действительную ось, точка описывает нек-рую окружность, ограничивающую круг Он всегда лежит в той же полуплоскости (нижней или верхней), что и С увеличением bкруг сжимается, т. е. при b<b' круг лежит целиком внутри круга Существует (при предельный круг или точка при этом если

то будет кругом, и точкой - в противном случае (см. [10]). Если условие (6) выполняется для одного какого-либо недействительного значения то оно выполняется для всех значений В случае продельного круга для всех значений все решения уравнения (2) принадлежат пространству а в случае предельной точки для каждого недействительного значения это уравнение имеет решение вида принадлежащее где - предельная точка

Если где с - нек-рая положительная постоянная, то имеет место случай предельной точки (см. [19]), более общие результаты см. [20], [21].

3. Рассматривается теперь уравнение (2) на всей оси при предположении, что q(x)действительная суммируемая в каждом конечном подинтервале из функция. Пусть - решения уравнения (2), удовлетворяющие условиям

Существует, по крайней мере, одна действительная симметрическая неубывающая матрица-функция

обладающая следующими свойствами:

а) для любой функции существуют функции j=1,2, определенные равенствами

где предел - по метрике пространства

б) имеет место равенство Парсеваля

Лит.:[1] Левитан Б. М., СаргсянИ. С., Введение в спектральную теорию, М., 1970; [2] Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.- Л., 1950; [3] его же, Теория операторов обобщенного сдвига, М., 1973; [4] Марченко В. А., Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения, К., 1977; [5] Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. 1, М., 1960; [6] Коддингтоy Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [7] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [8] Костюченко А. Г., Саргсян И. С., Распределение собственных значений, М., 1979; [9] Wеуl Н., лGott. Nachr.