«Равновеликие и равносоставленные фигуры»

Равновеликие фигуры — плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма); равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) частей. Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам. Равносоставленные фигуры являются равновеликими. Венгерский математик Я. Больяй (1832) и немецкий математик П. Гервин (1833) доказали, что равновеликие многоугольники являются равносоставленными (теорема Больяй — Гервина). Поэтому разрезанием на части и перекладыванием их можно любой многоугольник превратить в равновеликий ему квадрат. Понятие равносоставленности лежит в основе «метода разбиения», применяемого для вычисления площадей многоугольников: параллелограмм «разрезанием и перекладыванием» сводят к прямоугольнику, треугольник — к параллелограмму, трапецию — к треугольнику. Эквивалентным понятию равносоставленности является понятие равнодополняемости, которое лежит в основе «метода дополнения», т. е. дополнения двух фигур равными частями так, чтобы получившиеся после такого дополнения фигуры были равны.

Равновеликие многогранники не всегда являются равносоставленными. (Поэтому при выводах формулы объёма треугольной пирамиды используют Исчерпывания метод или иное завуалированное интегрирование, например Кавальери принцип.См. также Объём.) Так, например, куб и равновеликий ему правильный тетраэдр не являются равносоставленными — т. н. теорема Дена, доказанная немецким математиком М. Деном (1901) и составившая отрицательное решение третьей проблемы Гильберта. Для доказательства Ден построил некоторую систему аддитивных инвариантов, равенство которых необходимо для равносоставленности многогранников, и убедился, что среди его инвариантов есть такие, которые принимают разные значения для куба и равновеликого ему правильного тетраэдра. Эти работы были продолжены швейцарским математиком Х. Хадвигером и его учениками; в частности, Ж. П. Зидлер установил, что совпадение инвариантов Дена двух многогранников не только необходимо, но и достаточно для их равносоставленности.

Лит.: Проблемы Гильберта. Сб., М., 1969; Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956; Энциклопедия элементарной математики, книга 5, М., 1966.

В. Г. Болтянский.

- две фигуры в R², имеющие равные площади и соответственно два многоугольника M₁ и М ₂ такие, что их можно разрезать на многоугольники так, что части, составляющие М ₁, соответственно конгруэнтны частям, составляющим М ₂.

Для , равновеликость означает равенство объемов; равносоставленность многогранников определяется аналогично с . Эти понятия обобщаются также на неевклидовы геометрии.

Площадь (многоугольника) есть функция s(M), удовлетворяющая следующим аксиомам:

(a) для любого многоугольника М;

(b) если Месть объединение многоугольников М ₁,..., M_k, попарно не имеющих общих точек, то

s(M)=s(M₁)+...+s(M_k);(g) если M₁ и M₂ конгруэнтны, то s(M₁)=s(M₂);

(d) площадь квадрата, стороной которого является единица длины, равна 1.

С помощью этих аксиом определяется площадь прямоугольника.

Теорема. Если два многоугольника равносостав-лены, то они равновелики.

На этой теореме основан метод разбиения, известный еще Евклиду: для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей, из к-рых можно составить фигуру известной площади. Напр., параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, имеющим то же основание и ту же высоту (см. рис. 1); треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (см. рис. 2).

Таким образом, вся теория площадей многоугольников может быть построена на основе теоремы о площади прямоугольника.

Существует и другой способ вычисления площадей, основанный на аксиомах (b) и (g),- метод дополнения. Два многоугольника наз. равнодополняемыми, если их можно дополнить соответственно конгруэнтными частями так, чтобы получились конгруэнтные многоугольники.

Напр., параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основаниями и одинаковыми высотами равнодополняемы (см. рис. 3) и потому равновелики.

В евклидовой плоскости два многоугольника в том и только в том случае равновелики, если они равносоставлены (а также если они равнодополняемы). Аналогичная теорема справедлива в плоскости Лобачевского и в эллиптической плоскости. Напротив, в неархимедовой геометрии эквивалентны лишь равновеликость и равнодополняемость; равновеликость же им не эквивалентна.

Теория объемов в базируется на аксиомах (а), (b), (g), (d), аналогичных аксиомам площади. Однако для вычисления объема тетраэдра со времен Евклида используется предельный переход ("чертова лестница"), а в современных учебниках - интеграл, определение к-рого также связано с предельным переходом. Обоснование использования "лишнего" (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, доказательство того, что методами разбиения и дополнения невозможно вычислить объем произвольного тетраэдра, составили третью проблему Гильберта. В 1900 М. Ден (М. Dehn), решил третью проблему, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Для равносоставленности двух равновеликих многогранников Mi и М ₂ в необходимо и достаточно, чтобы для каждого инварианта Дена f(М).(нек-рой функции от длин ребер и величин соответствующих двугранных углов, см. [2]) выполнялось равенство f( М ₁)=f(M₂).

Имеются многомерные обобщения инвариантов Дена, с помощью к-рых сформулировано необходимое условие равносоставленности и доказано, что при правильный re-мерный симплекс не равносоставлен с равновеликим ему кубом. В необходимое условие равносоставленности является также и достаточным. Пусть G - нек-рая группа движений плоскости. Два многоугольника М ₁ и М ₂ наз. G-конгруэнтными, если существует такое движение , что g(M₁)=M₂. Два многоугольника М ₁ и М ₂ наз. G-равносоставленными, если их можно разрезать на части таким образом, что части, доставляющие M₁, соответственно конгруэнтны частям, составляющим M₂ Аналогично определяется G-равносоставленность многогранников.

Пусть S - группа движений, состоящая из всех параллельных переносов и центральных симметрии. Понятия равносоставленности и S-равносоставленности в R² эквивалентны. В частности, равновеликие многоугольники можно разбить на части таким образом, что соответствующие их части не только конгруэнтны, но и имеют соответственно параллельные стороны.

Равносоставленность в том и только в том случае эквивалентна G-равносоставленности, если в случае и в случае , где D₀ - группа всех движений, сохраняющих ориентацию.

Ниже приводится определение флаговых инвариантов, позволяющих дать необходимое и достаточное условие T-равносоставленности, где Т - группа всех параллельных переносов. Пусть - такая последовательность подпространств пространства , что (верхний индекс означает размерность). Пусть, далее, для каждого j=i+l,..., n фиксировано одно из двух полупространств, на к-рое разбивается подпространством ; это полупространство наз. "положительным" и обозначено через P^j. Последовательность Ф= ( Р ^п,..., Pⁱ⁺¹).наз. флагом порядка i в. Пусть, наконец, Q= ( М ^п-1,...,М ⁱ) - такая последовательность граней многогранника , что . Если M^j||R^J для всех j = i,..., п-1, то полагают

где| М ⁱ| есть i-мерный объем грани М ⁱ, а e_j=+1 в зависимости от того, примыкает ли М ^j+1 к M^j с положительной стороны или нет. Если же хотя бы для одного j, то Н _ф(Q)=0; Н _ф( М ^п) - сумма S Н _ф(Q).по всем последовательностям Q, составленным из граней многогранника М ^п.

Два равновеликих многогранника в том и только в том случае Г-равносоставлены, если для каждого флангового инварианта Н _ф его значения на этих многогранниках одинаковы.

Многогранник наз. k- кратной суммой Минковского, если существуют такие многогранники N₁,..., N_k (положительных размерностей), несущие плоскости к-рых порождают разложение пространства в такую прямую сумму, что Mⁿ=N₁+... +N_k, (в смысле векторной суммы множеств). Многогранник называется принадлежащим классу , если М ^п можно разбить на конечное число многогранников, каждый из к-рых T-равносоставлен с многогранником, представляющимся в виде k-кратной суммы Минковского.

Многогранник в том и только в том случае, если Н _ф( М ^п)=0 для всех флаговых инвариантов H _Ф порядков, меньших k.

Пусть Г - группа, состоящая из всех гомотетий с положительными коэффициентами и параллельных переносов. В Rⁿ любые два многогранника Г-равносоставлены. Рис. 4 иллюстрирует Г-равносоставленность треугольника и прямоугольника (одинаковыми цифрами обозначены Г-конгруэнтные многоугольники).

Пусть при гомотетии с коэффициентом l>0 объем n-мерного многогранника увеличивается в lⁿ раз. Если принять это утверждение как аксиому, то объем любого многогранника может быть найден методом разбиения.

Пусть группа движений G в n -мерном евклидовом, гиперболическом или эллиптич. пространстве почти транзитивна (т. е. орбита точки всюду плотна); два многогранника в этом пространстве тогда и только тогда G-равнодополняемы, когда они G-равносоставлены.

Лит.:[1] Проблемы Гильберта, М., 1969; [2] Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956; [3] его же, Третья проблема Гильберта, М., 1977; [4] Xадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., 1966; [5] Iessen В., Тhorup A., "Math. Scand.", 1978, v. 43, fasc. 2, p. 211-40.

В. Г. Болтянский.